Question

Вычислите площадь треугольника с вершинами A[-1;1] B [-1;3] C [3;1]

Answer 1

Найдем длину каждой стороны:
$|AB|=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2 \\|BC|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \\|AC|=\sqrt{4^2+0^2}=\sqrt{16}=4$
по формуле Герона найдем площадь:
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$a=2 \\b=2\sqrt{5} \\c=4 \\p= \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+2\sqrt{5}}{2} =3+\sqrt{5}$
$S=\sqrt{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5}-2)(3+\sqrt{5}-2\sqrt{5})(3+\sqrt{5}-4)}=\\=\sqrt{(3+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}=\\=\sqrt{((3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}))*(-1)*((1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5}))}=\\=\sqrt{(9-5)*(-1)*(1-5)}=\sqrt{4^2}=4$
Ответ: 4

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой Герона, которая выражает площадь треугольника через длины его сторон. Однако, сначала необходимо вычислить длины сторон треугольника.

Длина стороны AB: AB = √[(xB-xA)² + (yB-yA)²] = √[(-1 - (-1))² + (3 - 1)²] = √4 = 2

Длина стороны BC: BC = √[(xC-xB)² + (yC-yB)²] = √[(3 - (-1))² + (1 - 3)²] = √20 = 2√5

Длина стороны AC: AC = √[(xC-xA)² + (yC-yA)²] = √[(3 - (-1))² + (1 - 1)²] = √16 = 4

Теперь можно вычислить полупериметр треугольника p, который равен сумме длин сторон, деленной на 2: p = (AB + BC + AC) / 2 = (2 + 2√5 + 4) / 2 = 3 + √5

И, наконец, площадь треугольника S вычисляется по формуле Герона: S = √[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)] = √[(3 + √5)(3 + √5 - 2)(3 + √5 - 2√5)(3 + √5 - 4)] = 4

Ответ: площадь треугольника ABC равна 4.