Question

В цилиндр вписан шар. Докажите, что высота цилиндра равна диаметру его основания. Где находится центр этого шара?

Answer 1

В осевом сечении цилиндра находится прямоугольник, в которую вписана окружность. В прямоугольник можно вписать окружность в том случае, если это квадрат, сумма противоположных сторон должны быть равны. Значит, AB = АD, то есть высота цилиндра равна диаметру основания. Отсюда вследствие, если в цилиндр вписан шар, то высота данного цилиндра равна диаметру основания.

Центр шара находится на середине отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра.

Answer 2

Пусть цилиндр имеет высоту h и диаметр основания d. Тогда радиус основания цилиндра равен d/2.

Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, параллельной его основанию, которое проходит через центр шара. Это сечение будет кругом с диаметром, равным диаметру шара.

Так как шар вписан в цилиндр, то он касается его боковой поверхности внутри точки сечения, а значит, его диаметр меньше или равен высоте цилиндра: d ≤ h.

Также, согласно теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом шара, высотой цилиндра и диаметром его основания, имеем:

(d/2)^2 + h^2 = r^2

где r - радиус шара.

Заменяя r^2 по формуле r = d/2, получаем:

(d/2)^2 + h^2 = (d/2)^2 h^2 = (d/2)^2 h = d/2

Таким образом, высота цилиндра равна диаметру его основания, а центр шара находится на оси симметрии цилиндра, в середине его высоты.