Question

Дана пирамида DABC, в которой DB⊥BC, AB=8, AC=BD=6, AD=10, ∠ACB=90°. а) Докажите, что DB⊥(ABC); б) Найдите косинус угла между плоскостями (ADC) и (ABC).

Answer 1

a). Заметим, что треугольник ABD египетский. Действительно, BD:AB:AD = 6:8:10 = 3:4:5. Значит, DB ⊥ AB.

DB ⊥ BC, DB ⊥ AB ⇒ DB ⊥ (ABC).

Q.E.D.

б). DB ⊥ (ABC) ⇒ BC  - проекция DC на (ABC).

BC ⊥ AC ⇒ DC ⊥ AC по теореме о трех перпендикулярах.

BC ⊥ AC,  DC ⊥ AC ⇒ ∠((ADC), (ABC)) = ∠DCB.

По теореме Пифагора для ΔACB:

BC² + AC² = AB² ⇒ BC² = 8² - 6² = 28 ⇔ BC = 2√7.

По теореме Пифагора для ΔCBD:

BC² + BD² = CD² ⇒ CD² = 6² + 4·7 = 64 ⇔ CD = 8.

cos∠DCB = BC/CD = 2√7/8 = √7/4.

Ответ: √7/4.

Answer 2

а) Для доказательства того, что DB⊥(ABC), нам нужно показать, что вектор DB является перпендикуляром к плоскости ABC.

Пусть векторы AB и AC образуют базис плоскости ABC. Тогда векторное произведение этих векторов будет нормалью к плоскости ABC:

n = AB × AC

n = (8, 0, 0) × (0, 6, 0)

n = (0, 0, 48)

Таким образом, уравнение плоскости ABC может быть записано как

0x + 0y + 48z = 0

Или просто

z = 0

Теперь, чтобы показать, что DB ⊥ (ABC), нам нужно показать, что вектор DB является коллинеарным с нормалью к плоскости ABC.

Для этого рассмотрим треугольник ADB. Мы знаем, что

AD = 10, BD = 6, AB = 8

Применяя теорему Пифагора, мы можем найти длину вектора AD:

AD² = AB² + BD²

AD² = 8² + 6²

AD² = 100

AD = 10

Таким образом, треугольник ADB является прямоугольным с прямым углом в точке D. Это означает, что вектор DB является перпендикуляром к вектору AD, который лежит в плоскости ABC. Следовательно, DB ⊥ (ABC).

б) Чтобы найти косинус угла между плоскостями (ADC) и (ABC), мы можем воспользоваться формулой:

cos θ = (n₁ · n₂) / (|n₁| |n₂|),

где n₁ и n₂ - нормали к плоскостям (ADC) и (ABC) соответственно, · обозначает скалярное произведение, а |n| - модуль вектора n.

Нормаль к плоскости (ABC) мы уже нашли в предыдущем пункте:

n₂ = (0, 0, 48)

Для нахождения нормали к плоскости (ADC) рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что

AC = 6, AD = 10, CD = 8

Применяя теорему Пифагора, мы можем найти длину вектора AC:

AC² = AD² - CD²

AC² = 10² - 8²

AC² = 36

AC = 6

Таким образом, вектор AC является нормалью к