Question

Из точки А к окружности с центром в точке О проведены две касательные, угол между которыми равен α. Найдите ОА, если длина хорды, соединяющей точки касания, равна b

Answer 1

ОА = А+В=АВ ДЛИНА ХОРДЫ СОЕДИНЯЮЩИЕ ТОЧКИ КАСАНИЯ 

Answer 2

Пусть точки касания на окружности обозначены как B и C, а середина хорды BC - как точка M. Также пусть расстояние от точки А до точки О будет обозначено как r.

Так как AM - это медиана треугольника ABC, то она делит хорду BC пополам, то есть BM = MC = b/2.

Также из геометрических свойств касательных к окружности следует, что угол BOM = угол COM = 90 градусов. Таким образом, треугольник BOM является прямоугольным.

Пусть угол BOM равен x. Тогда угол MOB также равен x, так как треугольник BOM равнобедренный. Тогда угол AOB равен 2x, так как это внешний угол треугольника MOB. С другой стороны, угол AOB также равен 2α, так как это угол между касательными. Из этих двух равенств мы можем получить выражение для x:

2x = 2α

x = α

Таким образом, треугольник BOM является прямоугольным с углом BOM = α. Из тригонометрии мы можем выразить ОМ через BM и угол BOM:

tan(α) = BM / OM

OM = BM / tan(α) = b/2 / tan(α)

Теперь мы можем выразить ОА через ОМ и r, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ОАОМ:

ОА² = ОМ² + r²

ОА² = (b/2 / tan(α))² + r²

Таким образом, мы нашли выражение для ОА.