Question

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Прямая пересекает сторону AC в точке K , сторону BC в точке L и продолжение стороны AB за точку B в точке M. При этом треугольники CKL и BML получаются также равнобедренными. Найдите угол A.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Обозначим угол BAC через α.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол ABC равен углу ACB, а значит, оба они равны (180-α)/2.

Треугольник CKL также равнобедренный, поэтому угол LCK равен углу CKL, а значит, оба они равны (180-α)/4.

Треугольник BML также равнобедренный, поэтому угол LBM равен углу BML, а значит, оба они равны (180-α)/4.

Таким образом, угол LCM равен (180-α)/2 + (180-α)/4 + (180-α)/4 = 270-3α/2.

Заметим, что угол LCM равен углу ACM + углу ACL. Угол ACM равен углу ABC - углу LBM = (180-α)/2 - (180-α)/4 = 90-α/2.

Угол ACL равен углу BCK = (180-α)/4.

Таким образом, угол A равен углу ACL + углу ACM = (180-α)/4 + 90-α/2 = 90-3α/4.

Из равенства углов треугольника имеем 2*(180-α)/2 + угол A = 180, откуда следует, что α + 2*(90-3α/4) = 180, или α = 60.

Таким образом, угол A равен 90-3α/4 = 75 градусов.