Question

площа рівнобічної трапеції дорівнює 36√2 см²,а гострий кут-45°Знайдіть висоту трапеції,якщо в неї можна вписати коло.

Answer 1

Так як в трапецію можна вписати коло, то сума основ трапеції дорівнює сумі бічних сторін.

Answer 2

Спочатку знайдемо довжину основи трапеції. Позначимо довжини більшої і меншої основи через $a$ і $b$, відповідно. Тоді площа рівнобічної трапеції дорівнює:

$S = \frac{(a+b)h}{2} = 36\sqrt{2}\,\text{см}^2,$

де $h$ - висота трапеції.

Так як трапеція рівнобічна, то $a = b$. Тоді ми можемо переписати попередню формулу як:

$S = \frac{2ah}{2} = ah = 36\sqrt{2}\,\text{см}^2.$

Оскільки в трапеції можна вписати коло, то це означає, що середина більшої основи трапеції збігається з центром кола. Тому, враховуючи, що гострий кут трапеції дорівнює $45^\circ$, ми можемо побудувати таку фігуру:

Діагоналі рівнобічної трапеції діляться навпіл точкою перетину. Оскільки тут діагоналі рівні (бо кут між ними дорівнює $90^\circ$), то центр кола збігається з цією точкою перетину. Позначимо цю точку через $O$. Тоді $OA$ і $OB$ - радіуси кола, а також вони є півосновами трапеції, тобто $OA = OB = a/2$.

Оскільки $OA = OB$, то трикутник $OAB$ є прямокутним із гіпотенузою $a/2$ і катетами $h$ та $b/2$:

За теоремою Піфагора маємо:

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2.$

Так як $a = b$, то це спрощується до:

$\frac{a^2}{4} = h^2 + \frac{a^2}{8}.$

Перенесемо $h^2$ на один бік, а все інше на інший:

$$$$