Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD длина диагонали AC равна длине стороны AD. Докажите, что ВС < BD

Answer 1

Ответ во вложении...

Answer 2

Рассмотрим треугольник ACD. Условие задачи означает, что он равнобедренный, то есть AC = AD. Поэтому углы CAD и CDA равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC равен сумме углов CAD и CDA (из-за того, что AC = AD), то есть угол BAC равен двойному углу CAD. Аналогично, угол ACD равен двойному углу BCD.

Таким образом, мы получили, что углы BAC и BCD суть смежные вертикальные углы, и они равны между собой. Значит, треугольники ABC и BCD подобны друг другу по признаку "угол-угол", и отсюда следует, что соотношение между сторонами этих треугольников будет пропорционально соотношению между соответствующими высотами.

Теперь обратим внимание на то, что высота, опущенная на сторону BC, лежит внутри треугольника ABC, в то время как высота, опущенная на сторону BD, лежит за пределами треугольника BCD. Следовательно, высота треугольника ABC на сторону BC будет больше, чем высота треугольника BCD на сторону BD.

Так как соответствующие стороны треугольников ABC и BCD пропорциональны их соответствующим высотам, то получаем, что BC < BD. Следовательно, ВС < BD.