Question

докажите теорему(подробно): В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180

Answer 1

У любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны 180о.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равны 180 градусам 
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Answer 2

Для начала, давайте определим, что такое вписанный четырёхугольник. Это четырёхугольник, у которого все углы лежат на окружности.

Для доказательства данной теоремы, мы будем использовать свойства углов, лежащих на окружности.

Итак, пусть у нас есть вписанный четырёхугольник ABCD, где углы A и C - противоположные углы, а углы B и D - также противоположные углы. Мы должны доказать, что сумма углов A и C равна 180 градусов, то есть:

∠A + ∠C = 180°

Для начала, рассмотрим дугу AC на окружности, она соответствует сумме углов A и C. Мы знаем, что угол, опирающийся на эту дугу, равен половине её центрального угла. Давайте обозначим центральный угол через ∠BOC.

Теперь рассмотрим дугу BD на той же окружности. Она соответствует сумме углов B и D. Также, угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла ∠BOC.

Таким образом, мы можем записать следующее:

∠A + ∠C = (1/2)∠BOC + (1/2)∠BOC = ∠BOC

Аналогично, рассмотрим дугу AB и дугу CD. Они соответствуют сумме углов B и D, а также сумме углов A и C соответственно. Опирающиеся на них углы также равны половине центральных углов.

Таким образом, мы можем записать следующее:

∠B + ∠D = (1/2)∠BOC + (1/2)∠BOC = ∠BOC

∠A + ∠C = (1/2)∠BOC + (1/2)∠BOC = ∠BOC

Но мы знаем, что сумма всех четырёх углов в четырёхугольнике равна 360 градусов. То есть:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

Заметим, что ∠BOC является суммой двух центральных углов, опирающихся на дуги AC и BD. То есть:

∠BOC = (1/2)(∠AB + ∠CD)

Подставим это вы