Question

 1) Две окружности имеют внешнее касание , а расстояние между их центрами равно 16 см. Найдите радиусы этих окружностей, если они пропорциональны  числа 3 и 5.       2)Угол между двумя радиусами окружности равен 130 градусов. Найдите угол между касательными, проведёнными через концы этих радиусов.     3)  Около  треугольника АВС  с углами  А= 30 градусов и угол В= 60 градусов описанна окружность Найдите её радиус если АВ =10 см  

Answer 1

1)

Обозначим коэффициент отношения радиусов х
Тогда один радиус равен 3х,второй - 5х
3х+5х=16
8х=16
х=2
3х= 6 см - это первы радиус
5х*2=10см - это второй радиус
-------------------------
2)

В четырехугольнике сумма его углов равна 360 градусов.
Два угла между касательными и радиусами равны по 90 градусов и сумма их 180 градусов.
Угол между касательными равен
180-130 =50 градусов
--------------------------
3)

Треугольник с такими углами - прямоугольный. 

Центр описанной окружности лежит на его гипотенузе, и радиус окружности равен половине АВ
радиус 10:2=5 см

Answer 2

1. Пусть радиусы окружностей равны $3r$ и $5r$, соответственно. Тогда, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из радиусов и расстояния между центрами окружностей, получаем:

$(3r + 5r)^2 = (16)^2$

$64r^2 = 256$

$r^2 = 4$

$r = 2$ (так как радиус не может быть отрицательным)

Таким образом, радиусы окружностей равны 6 см и 10 см.

2. Угол между касательными, проведёнными через концы радиусов, равен углу, образованному этими радиусами на окружности. Поскольку угол между радиусами равен 130 градусов, угол, образованный этими радиусами на окружности, равен 130 градусов. Следовательно, угол между касательными также равен 130 градусов.

3. Пусть $O$ - центр описанной окружности, $R$ - её радиус. Тогда, по свойству описанной окружности, угол $C = 90^\circ$ (так как угол $B = 60^\circ$, а дополнительный к нему угол $C'$ - прямой). Также, по теореме о трёх перпендикулярах, отрезок $AO$ является высотой треугольника $ABC$, а значит, его длина равна $AO = \frac{AB \cdot AC}{2R}$, где $AB = AC = 10$ см (так как треугольник равнобедренный), а $R$ - искомый радиус. Используя тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника $AOC$, составленного из высоты и радиуса описанной окружности, получаем:

$\tan 30^\circ = \frac{AO}{R} = \frac{AB \cdot AC}{2R^2}$

$R = \frac{AB \cdot AC}{2 \tan 30^\circ} = \frac{10 \cdot 10}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = 10\sqrt{3}$

Таким образом, радиус описанной окружности равен $10\sqrt{3}$ см.