Question

Підставою прямокутного паралелепіпеда служить квадрат. Діагональ паралелепіпеда рівна d і складає з бічною гранню кут 30 градусів. Знайдіть його об'єм

Answer 1

Диагональ параллелепипеда равна d и составляет с боковой гранью угол 30 градусов.

Тогда

диагональ грани d1=d*cos30=d* √3/2

сторона основания а= d*sin30=d/2

высота h=√(d1^2-a^2)= √( (d* √3/2)^2-(d/2)^2)= d* √2/2

объем V=Sосн*h=a^2*h= (d/2)^2* d* √2/2=d^3*√2/8

 

Ответ V =d^3*√2/8

Answer 2

найдем диагональ боковой грани

D=dcos30=d√3/2

основание квадрат

сторона основания

b=dsin30=d/2

боковое ребро(высота)

h=√(D^2-b^2)=√((d√3/2)^2-(d/2)^2)=d√2/2

площадь основания

S=b^2=(d/2)^2

объем праллелепипеда

V=Sh=(d/2)^2*d√2/2=√2d^3/8

 

Answer 3

Для розв'язання задачі спочатку потрібно знайти розміри прямокутного паралелепіпеда за допомогою діагоналі та кута.

Позначимо сторони квадрата основи як a. Тоді бічна грань також є квадратом і має довжину сторони a. Також, оскільки кут між діагоналлю і бічною гранню дорівнює 30 градусам, то можна скористатися трикутником, у якому діагональ становить гіпотенузу, а бічна грань - один з катетів.

Тоді за теоремою Піфагора маємо: $a^2 + a^2 = d^2,$ або ж $2a^2 = d^2$.

Звідси випливає, що $a = \frac{d}{\sqrt{2}}.$

Об'єм прямокутного паралелепіпеда можна знайти як добуток довжини, ширини та висоти, тобто: $V = a \cdot a \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d^3}{2\sqrt{2}}.$

Таким чином, об'єм прямокутного паралелепіпеда з діагоналлю d та кутом 30 градусів дорівнює $\frac{d^3}{2\sqrt{2}}$.