Question

Помогите! Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с   центром О, проведенных из точки А. Найдите угол ВАС, если ОА=34 см, ОВ= 17 см.С решением пожалуйста)

Answer 1

OE=OC=OB=R(радиус окр.) =17 см
AE=AO-OE=17 см
Рассмотрим треугольник ABO: BO-катет, равный 17 см; AO-гипотенуза, равная 34 см ⇒ угол BAC =30 градусов (угол, лежащий против угла в 30 градусов = половине гипотенузы). Угол BAC=2×угол BAC=60 градусов.

Answer 2

Для решения задачи нам необходимо использовать свойство касательных, которое утверждает, что касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Используя это свойство, мы можем составить следующую систему уравнений:

$$\begin{cases} OA = 34\\ OB = OC = r\\ AB \perp OB\\ AC \perp OC\\ \end{cases}$$

Здесь $r$ обозначает радиус окружности, а $AB$ и $AC$ – касательные, проведенные из точки $A$.

Из уравнений системы следует, что $OB=OC=r$ и $AB\parallel AC$. Также из треугольника $OAB$ мы можем выразить длину $AB$ с помощью теоремы Пифагора:

$$AB^2 = OA^2 - OB^2 = 34^2 - 17^2 = 867$$

Отсюда следует, что $AB = \sqrt{867}$.

Так как $AB\parallel AC$, то угол $BAC$ является прямым. Из прямоугольного треугольника $ABC$ мы можем найти длину $BC$ с помощью теоремы Пифагора:

$$BC^2 = AC^2 + AB^2 = r^2 + 867$$

Отсюда следует, что $BC = \sqrt{r^2+867}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и применим теорему косинусов к углу $BAC$:

$$\cos(\angle BAC) = \frac{BC^2 - AB^2 - AC^2}{2\cdot AB\cdot AC} = \frac{r^2+867 - 867}{2\cdot r\cdot r} = \frac{r}{2}$$

Так как $AB\parallel AC$, то углы $\angle BAO$ и $\angle CAO$ являются соответственными и равными углами, а значит, их сумма равна углу $BAC$:

$$\angle BAC = \angle BAO + \angle CAO = 2\cdot \angle BAO = 2\cdot \arccos\left(\frac{r}{2OA}\right)$$

Нам осталось выразить радиус $r$ через известные величины. Для этого мы можем воспользоваться свойством касательных и выразить $r$ через катет $OA$ и гипотенузу $OB$ прямоугольного треугольника $OAB$:

$$r = \frac{OA\cdot OB}{AB} = \frac{34\cdot 17}{\sqrt{867}}$$

Подставляя это вы