Question

Знайдіть площу прямокутника якщо його діагональ дорівнює 2d і утворює зі стороною кут альфа.

Answer 1

Найдем угол между диагоналями. Диагонали прямоугольника равны, точкой пересечения делятся пополам. Отрезки диагоналей образуют со стороной равнобедренный треугольник, углы при основании равны. Внешний угол равен сумме внутренних, не смежных с ним.
b= 2a

Площадь четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.
S= 2d·2d·sin(b)/2 = 2d^2·sin(2a)

Answer 2

Нехай сторони прямокутника мають довжини a та b. За теоремою Піфагора, маємо:

a^2 + b^2 = (2d)^2 = 4d^2

Також за визначенням тангенса кута альфа маємо:

tan(alpha) = b/a

або

b = a * tan(alpha)

Підставляючи b в перше рівняння, отримуємо:

a^2 + (a * tan(alpha))^2 = 4d^2

розв'язуючи це рівняння відносно a, маємо:

a = 2d / sqrt(1 + tan(alpha)^2)

тоді

b = a * tan(alpha) = (2d / sqrt(1 + tan(alpha)^2)) * tan(alpha)

Отже, площа прямокутника дорівнює:

A = a * b = (2d / sqrt(1 + tan(alpha)^2)) * tan(alpha) * (2d / sqrt(1 + tan(alpha)^2))

A = 4d^2 * tan(alpha) / (1 + tan(alpha)^2)

Отже, площа прямокутника дорівнює 4d^2 * tan(alpha) / (1 + tan(alpha)^2).