Question

В выпуклом четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно равны. Найдите меньшую сторону данного четырёхугольника, если одна из сторон на 2 см больше другой, а его периметр равен 36 см

Answer 1

Одна сторона х, вторая противоположная ей тоже х,
Следующая сторона (х+2), противоположная ей тоже (х+2)
Периметр
х+(х+2)+х+(х+2)=36
4х+4=36
4х=36-4
4х=32
х=8
х+2=10
одна сторона 8, противоположная ей 8
еще одна сторона 10, противоположная ей 10
8+10+8+10=36 - периметр
Ответ. 8 см 

Answer 2

Пусть сторона АВ равна х см, тогда сторона СD равна (х + 2) см, так как они попарно равны. Обозначим через у и v оставшиеся две стороны четырехугольника.

Так как четырехугольник выпуклый, то сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны, то есть:

• x + y > v
• y + (x+2) > v
• y + v > x+2
• v + (x+2) > y

Сложим эти неравенства и получим: 2(x+y+v) > 2x+2y+2v > 2(x+2)

Так как периметр четырехугольника равен 36 см, то: x+y+v+(x+2) = 36 2x+2y+2v = 34 x+y+v = 17

Из первых двух неравенств можно выразить v через x и y: v > y - x v > x + 2 - y

Из последних двух неравенств можно выразить y через x и v: y < v - x - 2 y < x + 2 - v

Сложим эти неравенства и получим: 2y < 2

Так как y - это длина меньшей стороны, то из последнего неравенства следует, что меньшая сторона не может быть больше 1 см. Следовательно, меньшая сторона четырехугольника не может быть больше стороны АВ, которая равна x. Так как x+y+v=17, то меньшая сторона должна быть меньше 17/3, то есть меньшая сторона не может быть больше 5 см.

Таким образом, меньшая сторона четырехугольника АВСD не может быть больше 5 см.