Question

Радиус окружности вписанной в правильный треугольник 4 найти сторону этого треугольника

Answer 1

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник равна:
$\displaystyle r= \frac{a}{2\sqrt{3}}$,
откуда a=2√3r= 8√3

Answer 2

В правильном треугольнике все стороны равны между собой, поэтому нам достаточно найти длину одной из сторон треугольника, зная радиус вписанной окружности.

Известно, что радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен 4. Также известно, что в таком треугольнике каждая биссектриса делит соответствующий угол на две равные части и пересекает противоположную сторону в точке, лежащей на расстоянии от вершины, равном радиусу вписанной окружности.

Пусть $a$ - длина стороны правильного треугольника. Тогда биссектриса, проведенная к этой стороне, делит ее на две отрезка длины $a/2$. Также известно, что эта биссектриса равна радиусу вписанной окружности и равна $4$.

По теореме Пифагора в треугольнике со сторонами $a/2$, $a/2$ и $4$ можно найти длину стороны $a$:

$a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 4^2$ $a^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 16$ $a^2 = \frac{a^2}{2} + 16$ $a^2 - \frac{a^2}{2} = 16$ $\frac{a^2}{2} = 16$ $a^2 = 32$ $a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Ответ: сторона правильного треугольника равна $4\sqrt{2}$.