Question

Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда имеют длины 3, 3 и 4. Определить диагональ параллелепипеда

Answer 1

Рёбра a, b, c
Диагонали пространственная d, и граней d₁, d₂, d₃
---
d₁² = a² + b²
d₂² = b² + c²
d₃² = a² + c²
d² = a² + b² + c²
Сложим все три уравнения для диагоналей граней
d₁² + d₂² + d₃² = 2a² + 2b² + 2c²
d₁² + d₂² + d₃² = 2(a² + b² + c²)
И справа в скобке у нас получилось выражение для пространственной диагонали
d₁² + d₂² + d₃² = 2d²
d² = 1/2(d₁² + d₂² + d₃²)
d² = 1/2(3² + 3² + 4²)
d² = 1/2(9 + 9 + 16)
d² = 34/2 = 17
d = √17

Answer 2

Пусть ребра будут a, b, и c, тогда
a^2+b^2=3^2=9
a^2+c^2=3^2=9
Следовательно b=c
b^2+c^2=4^2=16
2b^2=16
b^2=8

a^2+8=9
a=1

D=√(4^2+1^2)=√17

Answer 3

Чтобы определить диагональ прямоугольного параллелепипеда, можно использовать теорему Пифагора.

По условию, длины диагоналей граней параллелепипеда равны 3, 3 и 4. Пусть a, b и c - длины ребер параллелепипеда, соответствующие этим диагоналям.

Из теоремы Пифагора для первой диагонали: a^2 + b^2 = 3^2 = 9. ........(1)

Из теоремы Пифагора для второй диагонали: a^2 + c^2 = 3^2 = 9. ........(2)

Из теоремы Пифагора для третьей диагонали: b^2 + c^2 = 4^2 = 16. ........(3)

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными a, b и c. Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значений длин ребер параллелепипеда.

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получаем: (a^2 + b^2) - (a^2 + c^2) = 9 - 9, b^2 - c^2 = 0, (b + c)(b - c) = 0.

Так как b и c не могут быть равными нулю, они должны быть равными друг другу: b = c. ........(4)

Подставляя (4) в уравнение (3), получаем: b^2 + b^2 = 16, 2b^2 = 16, b^2 = 8, b = sqrt(8) = 2sqrt(2).

Теперь, зная значение b, мы можем подставить его в уравнение (1) или (2), например, в (1): a^2 + (2sqrt(2))^2 = 9, a^2 + 8 = 9, a^2 = 1, a = 1.

Таким образом, длины ребер параллелепипеда равны a = 1, b = 2sqrt(2) и c = 2sqrt(2).

Для нахождения диагонали параллелепипеда можно использовать теорему Пифагора для трехмерного случая:

диагональ^2 = a^2 + b^2 + c^2, диагональ^2 = 1^2 + (2sqrt(2))^2 + (2sqrt(2))^2, диагональ^2 = 1 + 8 + 8, диагональ^2 = 17 + 8, диагональ^2 = 25, диагональ = sqrt(25), диагональ = 5.

Таким образом, диагональ