Question

Докажите теорему на математическом языке, с помощью символов. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Answer 1

1) Рассмотрим прямую a и точку A, которая не находится на этой прямой.
2) На прямой a выберем точки B и C.
3) Так как все 3 точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскость α.
4) Точки прямой a, B и C, лежат на плоскости α, поэтому из третьей аксиомы следует, что плоскость проходит через прямую a и, конечно, через точку A.

Answer 2

Предложение: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство:

Пусть дана прямая l и точка P, не лежащая на прямой l. Мы хотим показать, что существует и единственна плоскость, проходящая через прямую l и точку P.

Для начала выберем любую точку A на прямой l. Затем рассмотрим векторы $\vec{AP}$ и $\vec{v}$, где $\vec{v}$ - любой ненулевой вектор, не лежащий в плоскости, параллельной прямой l. Таким образом, $\vec{v}$ не коллинеарен с вектором, лежащим на прямой l.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точку A и нормальную к вектору $\vec{v}$. Обозначим эту плоскость как $\alpha$.

1. Доказательство существования плоскости:

   • Точка P не лежит на прямой l, значит, вектор $\vec{AP}$ не коллинеарен вектору, лежащему на прямой l.
   • Вектор $\vec{v}$ не коллинеарен вектору, лежащему на прямой l.
   • Значит, векторы $\vec{AP}$ и $\vec{v}$ линейно независимы.
   • Плоскость $\alpha$, проходящая через точку A и нормальную к вектору $\vec{v}$, существует.

2. Доказательство единственности плоскости:

   • Предположим, что существуют две различные плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$, проходящие через прямую l и точку P.
   • Поскольку прямая l лежит в обеих плоскостях, она лежит и в их пересечении.
   • Точка P также лежит в обеих плоскостях, поэтому она также лежит в их пересечении.
   • Таким образом, пересечение плоскостей $\alpha_1$ и $\alpha_2$ содержит прямую l и точку P.
   • Но, поскольку плоскость полностью определяется прямой и одной точкой, $\alpha_1$ и $\alpha_2$ должны совпадать.
   • Полученное противоречие показывает, что только одна