Question

В треугольнике ABC угол C=120 BC=(√3 -1), AC=2. Найдите величину угла ABC

Answer 1

1) По теореме косинусов:

АВ² = BC² + AC² - 2BC×AC × cos120° = ( √3 - 1 )² + 2² - 2× 2×( √3 - 1 ) × ( -1/2 ) = 3 - 2√3 + 1 + 4 + 2√3 - 2 = 6


АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos ABC

2² = 6² + ( √3 - 1 )² - 2× 6 × ( √3 - 1 ) × cosa

4 = 36 + 3 - 2√3 + 1 + ( 12 - 12√3 ) × cosa

( 12 - 12√3 ) × cosa = 2√3 - 36

cosa = ( 2√3 - 36 )/ ( 12 - 12√3 ) = ( √3 - 18 )/( 6 - 6√3 ) = ( √3 - 18 )( 6 + 6√3) / (6 - 6√3 )(6 + 6√3 ) = ( 6√3 + 18 - 108 - 108√3 )( 36 - 108 ) = ( - 102√3 - 90 ) / ( - 72 ) = ( 102√3 - 90 ) / 72 = ( 34√3 - 30 ) / 24 = ( 17√3 - 15 ) / 12

cosa = ( 17√3 - 15 ) / 12

Значит, а = аrccos( ( 17√3 - 15 ) / 12 ) )


ОТВЕТ: аrccos( ( 17√3 - 15 ) / 12 ) )

Answer 2

Вот решение задания

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся законом косинусов. Закон косинусов утверждает, что для треугольника с сторонами a, b и c и углом C, противолежащим стороне c, справедливо следующее равенство:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

В нашем случае известны стороны BC и AC, а также угол C. Подставим известные значения в формулу:

(√3 - 1)^2 = 2^2 + BC^2 - 22BC*cos(120)

Упростим это уравнение:

3 - 2√3 + 1 = 4 + BC^2 - 4BC*(-0.5)

4 - 2√3 = 4 + BC^2 + 2BC

Теперь перенесем все известные в одну сторону, а неизвестные в другую:

BC^2 + 2BC - 2√3 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно BC. Решим его с помощью квадратного корня:

BC = (-2 ± √(2^2 - 41(-2√3))) / (2*1)

BC = (-2 ± √(4 + 8√3)) / 2

BC = (-1 ± √(1 + 2√3))

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

BC = -1 + √(1 + 2√3)

Теперь, чтобы найти угол ABC, воспользуемся законом синусов:

sin(ABC) / BC = sin(C) / AC

sin(ABC) = BC * sin(C) / AC

sin(ABC) = (-1 + √(1 + 2√3)) * sin(120) / 2

sin(ABC) = (-1 + √(1 + 2√3)) * (√3/2) / 2

sin(ABC) = - (√3 - 1) / 2√2

Теперь найдем обратный синус от полученного значения, чтобы найти угол ABC:

ABC = arcsin((-√3 + 1) / 2√2)

Используя калькулятор, можно найти приближенное значение угла ABC, которое составляет около 47.06 градусов.