Question

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 75 и 100 см. Вычислите длину отрезков гипотенузы, на которые её делит высота, проведенная к ней.

Answer 1

Пусть x1,x2-отрезки на которые высота делит гипотенузу. То  из подобия этих треугольников получим:
a/b=x1/h
b/a=x2/h деля одно  на второе получим  :   a^2/b^2=x1/x2
По   теореме биссектрисы:  a/b=75/100=3/4
a^2/b^2=9/16
x1/x2=9/16
16x1=9x2  
x2=16x1/9
x1+x2=175
x1+16x1/9=175
25x1/9=175
x1=175*9/25=63
x2=112
Ответ:63,112

Answer 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90°, а биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D. Пусть BD=x, тогда AD=DC=x, так как биссектриса делит угол на две равные части и следовательно BD=CD.

Так как биссектриса делит гипотенузу AB на отрезки AC и BC в отношении 75:100, то мы можем записать следующее уравнение:

AC/BC=75/100

AC/AB=AC/(AC+BC)=75/100

AC/AB=3/4

Так как мы знаем, что AD=CD=x, а угол BDC является прямым, то треугольник BCD подобен треугольнику ABC по теореме об угле между биссектрисой и стороной. Значит, мы можем записать следующее уравнение:

BC/AB=BD/AD=CD/AD=x/x=1

BC/AB=1/4

Теперь мы можем выразить BC через AB и подставить это выражение в уравнение AC/AB=3/4:

AC/AB=3/4

AC/(AB-AC)=3/4

4AC=3AB-3AC

7AC=3AB

AC=(3/7)AB

Также мы можем выразить BC через AB, используя уравнение BC/AB=1/4:

BC/AB=1/4

BC=(1/4)AB

Мы знаем, что высота треугольника, проведенная к гипотенузе AB, делит её на отрезки AC и BC. Обозначим длину этой высоты через h.

Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABD:

h^2+x^2=AD^2

h^2+x^2=x^2

h^2=x^2-x^2=0

Таким образом, высота равна нулю, что означает, что треугольник является вырожденным.

Ответ: длина отрезков гипотенузы, на которые её делит высота, равна 0.