Question

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, у которого BC = 8 см, угол A : углу B = 1 : 4. Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

Ответ:

16√3 см²

Объяснение:

Дано: ΔАВС - равнобедренный, ВС=АВ=8 см.

∠А/∠В=1/4.

Найти S(АВС).

Пусть ∠А=∠С=х° т.к. у равнобедренного треугольника углы при основании равны

Тогда ∠В=4х°.

Проведем высоту ВН, которая является и биссектрисой ∠В по свойству высоты равнобедренного треугольника.

Тогда ∠АВН=1/2 ∠В=2х°

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный, ∠А+∠АВН=90° по свойству острых углов прямоугольного треугольника. Составим уравнение:

х+2х=90;   3х=90;   х=30.  ∠А=30°, тогда ВН=1/2 АВ = 8:2=4 см по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.

По теореме Пифагора АН=(√АВ²-ВН²)=√(64-16)=√48=4√3 см.

АС=2 АН=4√3 * 2 = 8√3 см

S(АВС)=1/2 * АС * ВН = 1/2 * 8√3 * 4 = 16√3 см²

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника, которое гласит, что биссектриса угла основания делит боковую сторону на две части, пропорциональные смежным сторонам.

Пусть BC = 8 см, тогда AC = BC = 8 см.

Пусть угол A равен x градусам, тогда угол B равен 4x градусам.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому угол C равен (180 - x - 4x) градусам, то есть (180 - 5x) градусам.

Известно, что биссектриса угла основания делит боковую сторону на две части, пропорциональные смежным сторонам. В данном случае, это отрезок BM, где M - точка пересечения биссектрисы угла B с основанием AC.

По условию, угол A делится углом B в соотношении 1:4, следовательно, отношение длин отрезков AM и MC равно 1:4.

Получаем уравнение: AM/MC = 1/4

Так как AM + MC = AC, то можно записать уравнение: AM/(AM + 4AM) = 1/4

Упрощаем уравнение: AM/5AM = 1/4

Умножаем обе части уравнения на 20AM: 4 = 5AM

Таким образом, AM = 4/5 * BC = 4/5 * 8 = 32/5 = 6.4 см.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника ABC: AB = AC = 8 см, BC = 8 см и AM = 6.4 см.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу для площади треугольника, зная длины двух сторон и синус угла между ними:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * AM * sin(A)

Здесь A - угол между сторонами AB и AM.

Так как мы знаем, что угол A делится углом B в соотношении 1:4, то A = x и sin(A) = sin(x).

Таким образом, площадь треугольника ABC = (1/2) * 8 * 6.4 * sin(x)

Используя тригонометрические связи и соотношение между углами A и B, мы