Question

Около окружности описана равнобедренная трапеция, имеющая угол 150°, ее средняя линия равна 20 дм. Найдите радиус окружности.

Answer 1

Трапеция АВСД, АВ=СД, средняя линия=20, уголВ=150, уголА=180-150=30

в трапецию можно вписать окружность когда сумма оснований=сумме боковых сторон

сумма оснований=средняя линия * 2 = 20*2=40 = сумме боковых сторон

АВ=СД = 40/2=20

проводим высоту ВН, треугольник АВН прямоугольный, ВН=1/2АВ - лежит против угла 30 ВН =20/2=10 = диаметру вписанной окружности

радиус=10/2=5

Answer 2

Давайте обозначим радиус окружности через "r". Поскольку дана равнобедренная трапеция, средняя линия равна полусумме оснований трапеции. Обозначим половину основания через "a".

Таким образом, сумма двух оснований равна 2a.

Известно, что средняя линия равна 20 дм. Так как средняя линия является высотой равнобедренной трапеции, можно записать следующее уравнение:

20 = (2a) * sin(150°/2)

Для упрощения выражения, рассмотрим значение синуса угла 75°:

sin(75°) = sin(180° - 75°) = sin(105°)

По свойству синуса, sin(105°) = sin(180° - 105°) = sin(75°).

Итак, уравнение станет:

20 = (2a) * sin(75°)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно "a":

a = 20 / (2 * sin(75°))

Вычислим значение a:

a ≈ 20 / (2 * 0.96592582628) ≈ 10.3897335795 дм

Так как радиус окружности представляет собой половину диагонали трапеции, равнобедренной треугольник, образованный радиусом и половиной основания, является прямоугольным треугольником.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

r^2 = a^2 + (r - a)^2

Подставим известные значения:

r^2 = (10.3897335795)^2 + (r - 10.3897335795)^2

Раскроем скобки:

r^2 = 107.927 + (r^2 - 20.779467159r + 107.927)

Упростим выражение:

r^2 = r^2 - 20.779467159r + 215.854

Вычтем r^2 из обеих частей уравнения:

0 = -20.779467159r + 215.854

Перенесем -20.779467159r на другую сторону:

20.779467159r = 215.854

Разделим обе части на 20.779467159:

r ≈ 10.39 дм

Таким образом, радиус окружности примерно равен 10.39 дм.