Question

сумма радиусов вписанного и описанного кругов прямоугольного треугольника равна одному с катетов найдите острые углы триугольника

Answer 1

Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике равна полусумме катетов. Пусть катеты равны a и b, тогда
r + R = (a + b) / 2, но с другой стороны по условию задачи r + R = a,
Значит   (a + b) / 2 = a;     a + b = 2a;     a = b
Это означает, что катеты равны, значит это прямоугольный равнобедренный треугольник, а значит острые углы по 45°.

Answer 2

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза.

Известно, что сумма радиусов вписанного и описанного кругов равна одному из катетов, то есть:

$r + R = a$,

где r - радиус вписанного круга, R - радиус описанного круга.

Также известно, что радиусы вписанного и описанного кругов связаны с длинами сторон треугольника следующим образом:

$r = \frac{a+b-c}{2}$,

$R = \frac{c}{2}$.

Подставляя эти выражения в уравнение $r + R = a$, получаем:

$\frac{a+b-c}{2} + \frac{c}{2} = a$,

откуда

$b = \frac{c}{2}$.

Таким образом, прямоугольный треугольник является равнобедренным с гипотенузой вдвое большей катета. Следовательно, острые углы этого треугольника равны 45 градусов.