Question

Срочно! 27 баллов! боковые стороны прямоугольной трапеции АВСД = 24см и 25см, а большая диагональ ВД является биссектрисой прямого угла. С вершины тупого угла С к плоскости трапеции проведён перпендикуляр СФ =7корней15. Чему равно расстояние от точки Ф к вершине А?

Answer 1

FC- перпендикуляр к плоскости трапеции, следовательно, перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости трапеции. Угол FCA=90°=>

∆ FCA - прямоугольный треугольник, гипотенуза FA которого и есть искомое расстояние.

Рассмотрим трапецию АВСD. Т.к. углы А и В прямые, а ВD - биссектриса прямого угла, в ∆ АВD ∠АВD=∠BDA=45° и ∆ ABD- равнобедренный. AD=AB=24 см.

Высота СН║АВ и отсекает от трапеции прямоугольный∆ CHD, в котором катет СН=АВ=24 см, а длина катета DH, найденная по т.Пифагора, равна 7 см.

Тогда ВС=АН=24-7=17 см.

Из ∆ АВС по т.Пифагора

АС²=FD²+DC²=√(576+289=865

Из ∆ FСA по т.Пифагора AF=√(FC²+AC²)=√(735+865)=40 см - это ответ.

Answer 2

Высота трапеции, её короткая боковая сторона и длинное основание - все по 24 см

Из ΔСВН по т. Пифагора

ВС² = СН² + ВН²

25² = 24² + ВН²

ВН² = 625 - 576 = 49

ВН = √49 = 7 см

---

АН = АВ - ВН = 24 - 7 = 17 см

---

Из ΔАСН по т. Пифагора

АС² = СН² + АН²

АС² = 24² + 17²

АС² = 576 + 289 = 865

АС = √865 см

---

Из ΔАСФ по т. Пифагора

АФ² = АС² + СФ²

АФ² = 865 + (7√15)²

АФ² = 865 + 49*15 = 865 + 735 = 1600

АФ = √1600 = 40 см

Answer 3

Нарисуем схему трапеции и отметим известные значения:

cssCopy code
     A-------B
     |       |
     |       |
     |       |
     D-------C

Заметим, что большая диагональ ВД является биссектрисой прямого угла, то есть угол ВDC равен 45 градусам. Также заметим, что угол ВАС является прямым, так как он дополняет угол ВDC до 90 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ВФС:

cssCopy code
         B
        /|
       / |
      /  |
     /   |
    F----C

Он является прямоугольным, так как ВФ перпендикулярно плоскости трапеции. Из теоремы Пифагора получаем:

Copy code
BF^2 = BC^2 - FC^2

Заметим, что треугольник ВСD также является прямоугольным, и мы знаем две его стороны:

Copy code
BD^2 = BC^2 + CD^2

Так как ВД является биссектрисой угла ВDC, то CD=BD/√2. Подставляем это в предыдущее уравнение:

makefileCopy code
BD^2 = BC^2 + (BD^2/2)
BD^2/2 = BC^2
BD = BC/√2

Теперь мы знаем значение стороны BD. Заметим, что треугольник АBD также является прямоугольным, и мы знаем две его стороны:

Copy code
AD^2 = AB^2 - BD^2

Подставляем найденное значение BD:

Copy code
AD^2 = AB^2 - BC^2/2

Теперь нам нужно найти значение BC. Заметим, что треугольник ВФС подобен треугольнику ВСD, так как у них два угла равны (угол В и угол ВFC, которые оба равны прямому углу). Поэтому мы можем написать:

Copy code
BC/FC = BD/BS

где BS - биссектриса угла ВФС. Так как угол ВФС равен 45 градусам, то BS=FC=7√15. Подставляем и решаем уравнение относительно BC:

makefileCopy code
BC/7√15 = BD/7√15 * √2
BC = BD * √2
BC = 25 * √2

Теперь мы можем подставить значение BC в уравнение для AD:

Copy code
AD^2 = AB^2 - BC^2/2
AD^2 = 24^2 - 25^2/