Question

Боковой гранью правильной усеченной четырехугольной пирамиды является трапеция, большее основание которой равно 8 см, а меньшее основание и боковые стороны по 4 см. Найдите объем данной усеченной пирамиды

Answer 1

Найдём высоту h боковой грани.

h = √(4² - ((8-4)/2)²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 см.

Проведём осевое сечение пирамиды перпендикулярно рёбрам основания. Поучим равнобокую трапецию с основаниями 4 и 8 см и боковыми сторонами по 2√3 см.

Высота её - это высота Н пирамиды.

H = √((2√3)² - ((8-4)/2)²) = √(12 - 4) = √8 = 2√2 см.

Площади оснований равны S1 = 4*4 = 16 и S2 = 8*8 = 64 см².

Теперь получаем ответ:

V =(1/3)H*(S1+S2+√(S1*S2)) = (1/3)*2√2*(64 + 16 + √(64*16)) =

 = (1/3)*2√2*112 = 224√2/3 см³.

Answer 2

Для нахождения объема усеченной пирамиды необходимо вычислить объем малой пирамиды и вычесть его из объема большей пирамиды.

Пусть высота пирамиды равна h, а высота усеченной пирамиды равна h'. Тогда по теореме Пифагора в трапеции можно найти высоту h' так:

$h'^2 = h^2 - (\frac{1}{2}(8-4))^2 = h^2 - 4^2$ $h' = \sqrt{h^2 - 16}$

Так как основания усеченной пирамиды являются трапециями, то площади оснований можно найти по формуле:

$S_1 = \frac{1}{2}(a+b)h$ $S_2 = \frac{1}{2}(a'+b')h'$

где a, b - большее и меньшее основания большей пирамиды соответственно, a', b' - большее и меньшее основания усеченной пирамиды.

Подставляя известные значения, получаем:

$S_1 = \frac{1}{2}(8+16)h = 12h$ $S_2 = \frac{1}{2}(8+4)h' = 6\sqrt{h^2-16}$

Объем большей пирамиды вычисляем по формуле:

$V_1 = \frac{1}{3}S_1h = 4h^3$

Объем малой пирамиды:

$V_2 = \frac{1}{3}S_2h' = \frac{2}{3}h(h^2-16)^{\frac{3}{2}}$

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

$V = V_1 - V_2 = 4h^3 - \frac{2}{3}h(h^2-16)^{\frac{3}{2}}$

Подставляя известные значения, получаем:

$V = 4\cdot (\sqrt{h^2-16})^3 - \frac{2}{3}\sqrt{h^2-16}\cdot(h^2-16)^{\frac{3}{2}}$

Для нахождения объема необходимо найти высоту h. Мы можем найти ее из условия, что боковая грань является трапецией со сторонами 4 см и высотой h':

$\frac{1}{2}(a+a') = 4$ $\frac{1}{2}(8+b') = \sqrt{h^2-16}$

Решая эту систему уравнений, находим:

$h = \sqrt{\frac{16\sqrt{5}}{3}}$

Теперь можем подставить найденное значение h и