Question

Задача 3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите высоту пирамиды и площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

пирамида КАВС, К-вершина, АВС-равносторонний треугольник АС=8, О-центр основания-пересечение медиан=высот=биссектрис, КО-высота пирамиды, проводим высоту АН на ВС, уголКАО=60,

АН=АС*sin60(уголС)=8*корень3/2=4*корень3, АО=2/3АН (медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/1, начиная от вершины), АО=4*корень3*2/3=8*корень3/3,

треугольник АКО, КО=АО*tg60 (уголКАО)=8*корень3*корень3/3=8 -высота пирамиды, АК=АО/cos60=(8*корень3/3)/(1/2)=16*корень3/3=СК=ВК,

проводим апофему КН, СН=ВН=ВС/2=8/2=4, треугольник КСН прямоугольный, КН=корень(СК в квадрате-СН в квадрате)=корень(768/9 -16)=4*корень39/3

площадьАВС=АС в квадрате*корень3/4=64*корень3/4=16*корень3

площадь боковая=1/2*периметрАВС*КН=(1/2)*3*8*(4*корень39/3)=16*корень39

площадь полная=площадьАВС+площадь боковая=16*корень3+16*корень39=16*(корень3+корень39)=16*корень3*(1+корень13)