Question

Найти катет прямоугольного треугольника, если его проекция на гипотенузу равна 2 см, а гипотенуза-32см.

Answer 1

Проекция - это из угла С(прямой) опустить перпендикуляр на гипотенузу.     Получаются 2 подобных прямоугольных треугольника.                                   а - катет,                                                                                                        Тогда а/32=2/а из подобия треугольников
а²=64
а=√64=8 см Наверно,так.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

c^2 = a^2 + b^2,

где c - длина гипотенузы, a и b - длины катетов.

Из условия задачи известно, что гипотенуза равна 32 см, а один из катетов имеет проекцию на гипотенузу длиной 2 см. Обозначим этот катет через a, а другой катет через b. Тогда получаем систему уравнений:

a^2 + b^2 = c^2, a + b = 32, a/c = 2/cos(A),

где A - угол между гипотенузой и катетом a.

Мы знаем, что a/c = 2/cos(A), поэтому cos(A) = a/(2c). Подставим это выражение в первое уравнение системы:

a^2 + b^2 = c^2, a + b = 32, a^2/(4c^2) + b^2 = c^2, a + b = 32.

Умножим первое уравнение на 4c^2 и заменим a^2 на 4c^2*cos^2(A):

4c^2cos^2(A) + b^24c^2 = c^2*4c^2, a + b = 32.

Выразим b^2 через a из второго уравнения системы:

b = 32 - a.

Подставим это выражение в уравнение для b^2:

4c^2cos^2(A) + (32-a)^24c^2 = c^2*4c^2.

Раскроем скобки и упростим:

4c^2*cos^2(A) + 1024c^2 - 64ac + a^2 = c^4.

Выразим a через cos(A) из первого уравнения системы:

a^2 = 4c^2cos^2(A), a = 2ccos(A).

Подставим это выражение в предыдущее уравнение и сократим на 4c^2:

cos^2(A) + 256 - 16cos(A) + 4cos^2(A) = c^2.

Сократим на 4 и приведём подобные:

5cos^2(A) - 16cos(A) + 64 = 256 - c^2.

Перенесём всё в левую часть уравнения:

5cos^2(A) - 16cos(A) + c^2 - 192 = 0.

Решим это квадратное уравнение относительно cos(A):

cos(A) = (16 ± sqrt