Question

Нужна помощь В правильной четырехугольной пирамиде sabcd с основанием abcd сторона основания равна 2 а боковое ребро равно 4. Точка m - середина sd. найдите расстояние от точки  a до прямой mb

Answer 1

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. По Пифагору диагональ квадрата равна а√2, где а -сторона квадрата.
Опустим из точки m перпендикуляр на основание пирамиды. Он "упадет" на диагональ db и разделит ее половину do пополам (так как dm=ms). Итак, md=2, dh=√2/2. По Пифагору mh=√(4-(1/2))=√3,5. Из подобия треугольников hmb и opb имеем: op/mh=ob/bh. Тогда  op=√3,5√2/(√2+√2/2)= 2√7/3√2 =28/18 (возвели числитель и знаменатель в квадрат) = 14/9.  ap - перпендикуляр к  mb, то есть искомое расстояние (так как ao - проекция ар, а db - проекция mb на плоскость основания  и эти проекции перпендикулярны).
По Пифагору ap = √(ao²+op²) =√2+14/9 = 4√2/3. 
Ответ: расстояние от a до прямой mb = 4√2/3.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой о пересечении прямой и плоскости. Рассмотрим плоскость, содержащую ребро sb и точку a. Эта плоскость будет перпендикулярна основанию abcd, так как sb перпендикулярно этой плоскости и проходит через точку a, которая лежит на основании.

Так как m - середина ребра sd, то прямая mb будет проходить через точку m и перпендикулярна ребру sd. Значит, прямая mb будет лежать в плоскости, проходящей через ребро sb и точки m.

Теперь найдем уравнение плоскости, содержащей ребро sb и точку a. Для этого можно воспользоваться формулой для уравнения плоскости, проходящей через три точки. Выберем какую-нибудь точку на ребре sb, например, точку s. Тогда векторы sb и sa будут лежать в плоскости, которую мы ищем. Значит, ее уравнение можно записать в виде:

(sb × sa)·(r - s) = 0,

где × обозначает векторное произведение, · - скалярное произведение, r - произвольная точка в плоскости, которую мы ищем.

Выразим из этого уравнения r:

r = s + t(sb × sa),

где t - произвольное число.

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через ребро sb и точки m. Заметим, что эта плоскость также проходит через точку a, так как она содержит ребро sb, которое пересекается с основанием abcd в точке a. Значит, уравнение этой плоскости можно записать так же, как уравнение плоскости, проходящей через ребро sb и точку a:

(sb × sm)·(r - s) = 0,

где sm - вектор, соединяющий точки s и m.

Теперь найдем точку пересечения прямой mb и плоскости, проходящей через ребро sb и точки m. Для этого подставим уравнение прямой в уравнение плоскости и найдем t:

(sb × sm)·(m + t(mb - m) - s) = 0,

(sb × sm)·(t(mb - m)) = (sb × sm)·(s - m),

t = [(sb × sm)·(s - m)] / [(sb × sm)·(mb - m)].

Теперь найдем точку пересечения:

r