Question

Дано точки А (-4,0,3) і В (1,4,8). Під яким кутом відрізок АВ видно з початку координат?

Answer 1

Можно вычислить угол между векторами А и В через скалярное произведение
А·В = |А|*|В|*cos(β)
-4*1 + 0*4 + 3*8 = √(4²+0²+3²)√(1²+4²+8²)*cos(β)
-4 + 24 = √(16+9)√(1+16+64)*cos(β)
20 = √25√81*cos(β)
20 = 5*9*cos(β)
4 = 9*cos(β)
cos(β) = 4/9
β = arccos (4/9) ≈ 63,61°

Answer 2

Щоб знайти кут між вектором, який відповідає відрізку AB, і вектором, який відповідає початку координат, спочатку потрібно знайти ці вектори.

Вектор, що відповідає відрізку AB, можна знайти, віднімаючи координати точки A від координат точки B:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

Вектор, що відповідає початку координат, має координати (0,0,0):

$\vec{O} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Тепер можна використовувати формулу для косинуса кута між векторами:

$\cos{\theta} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{O}}{\left|\vec{AB}\right| \left|\vec{O}\right|}$

де $\vec{AB} \cdot \vec{O}$ - скалярний добуток векторів, а $\left|\vec{AB}\right|$ та $\left|\vec{O}\right|$ - їх довжини.

Знаходимо:

$\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{66}$

$\left|\vec{O}\right| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 0^2} = 0$

$\vec{AB} \cdot \vec{O} = 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0$

Підставляємо отримані значення у формулу для косинуса кута:

$\cos{\theta} = \frac{0}{\sqrt{66} \cdot 0}$

Оскільки ділення на 0 неможливе, то це означає, що кут між векторами не існує, тобто відрізок АВ не видно з початку координат.