Question

Площадь прямоугольника равна 49√3 см², а угол между его диагоналями - 60°. Найти стороны

Answer 1

Формула площади параллелограмма: $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2sin\alpha$, так как прямоугольник - частный случай параллелограмма и его диагонали равны, то формула перепишется так: $S = \dfrac{1}{2}d^2sin\alpha.$

Из площади найдём диагональ прямоугольника: $d = \sqrt{\dfrac{2S}{sin\alpha}} = \sqrt{\dfrac{2*49\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}} = \sqrt{4*49} = 2*7 = 14.$ (см).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и одной из сторон треугольника (выделен зелёным на рисунке). Так как мы имеем дело с прямоугольником, половинки диагоналей равны, значит треугольник равнобедренный. Так как угол между диагоналями равен 60°, то данный треугольник - равносторонний, ведь все углы равностороннего треугольника по 60°.

Значит ширина прямоугольника равна половине диагонали, то есть: $\dfrac{d}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$ (см).

Длину найдём по теореме Пифагора из треугольника образованного диагональю и двумя смежными сторонами прямоугольника: $\sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3}$ (см).

Так же длину можно было найти из площади: $\dfrac{49\sqrt3}{7} = 7\sqrt3$ (см).

Ответ: длина 7√3 см, ширина 7 см.

Answer 2

Мы можем использовать два уравнения для нахождения сторон прямоугольника, зная его площадь и угол между диагоналями.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, а диагонали равны d₁ и d₂.

Уравнение для площади прямоугольника: a * b = 49√3

Уравнение для косинуса угла между диагоналями: cos(60°) = (d₁² + d₂² - a² - b²) / (2 * d₁ * d₂) 1/2 = (d₁² + d₂² - a² - b²) / (2 * d₁ * d₂)

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin²(θ) + cos²(θ) = 1, чтобы выразить d₁² и d₂² через угол между диагоналями: sin²(60°) + cos²(60°) = 1 3/4 + 1/4 = 1 d₁² + d₂² = (2 * d₁ * d₂ * cos(60°))² = 3 * (d₁ * d₂)²

Теперь мы можем выразить a и b через d₁ и d₂ с помощью уравнения для площади: a * b = 49√3 (a + b)² - (a - b)² = 4ab = 196√3 (a + b)² = 4d₁² (a - b)² = 4d₂²

Таким образом, мы получаем систему уравнений: a * b = 49√3 (a + b)² - (a - b)² = 196√3 (a + b)² = 4d₁² (a - b)² = 4d₂² d₁² + d₂² = 3 * (d₁ * d₂)²

Мы можем решить эту систему уравнений численно, используя методы алгебраических вычислений или программное обеспечение. Одно из возможных решений - a = 7√3 см и b = 7 см.