Question

В треугольнике ABC угол C=90 градусов, угол B=60 градусов. AB=8√3 см. Найдите длину медианы CM

Answer 1

В треугольнике АВС угол В = 60 градусов, угол С = 90 градусов, тогда, угол В = 90 - 60 = 30 градусов.Согласно теореме, против угла в 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы. Гипотенуза - АВ = 8√3 см, тогда катет, лежащий против угла в 30 градусов (СВ) = 4√3 см.Провели медиану СМ. Она делит гипотенузу на две равные части. Отсюда, АМ = МВ = 4√3 см.Рассмотрим треугольник МСВ. По теореме косинусов,СМ² = СВ² + МВ² - 2*СВ*МВ*cosBcosB = cos60 = 1/2СМ² = СВ² + МВ² - СВ*МВ (после преображний во второй части уравнения)СМ² = (4√3)² + (4√3)² - 4√3*4√3СМ² = 16*3 + 16*3 + 16*3СМ² = 16 (3+3+3)СМ² = 16*9СМ = √16*√9СМ = 4*3СМ = 12  смОтвет : СМ = 12 (см)

Answer 2

Для начала, построим треугольник ABC и отметим точку M на стороне AB так, чтобы CM была медианой треугольника ABC.

Поскольку угол C прямой, то сторона AB является гипотенузой треугольника ABC. По теореме Пифагора:

AC² = AB² - BC²

AC² = (8√3)² - BC²

AC² = 192 - BC²

Затем, поскольку угол B равен 60 градусов, то угол A равен 30 градусов. Так как M является серединой стороны AB, то AM = MB = (1/2)AB = 4√3 см.

Теперь мы можем найти длину CM, используя теорему медианы, которая утверждает, что медиана треугольника делит сторону, на которой она лежит, пополам:

CM² = (1/4)(2AC² + 2AB² - BC²) - (1/4)AC²

CM² = (1/4)(2(192 - BC²) + 2(8√3)² - BC²) - (1/4)(192 - BC²)

CM² = (1/4)(384 + 192√3 - 3BC²) - (1/4)(192 - BC²)

CM² = (1/4)(192 + 192√3 - 2BC²)

CM² = 48 + 48√3 - (1/2)BC²

Мы знаем, что угол B равен 60 градусов, поэтому угол A также равен 60 градусов. Таким образом, треугольник ABC является равносторонним, и сторона BC равна AB, то есть BC = 8√3 см.

Подставляя эту информацию в предыдущее выражение, получаем:

CM² = 48 + 48√3 - (1/2)(8√3)²

CM² = 48 + 48√3 - 96

CM² = 48√3 - 48

CM = √(48√3 - 48) ≈ 5,32 см (округлено до двух знаков после запятой)

Таким образом, длина медианы CM составляет приблизительно 5,32 см.