Question

Из точки к плоскости проведены две наклонные   Найдите длины наклонных,если проекции наклонных равны 12 и 40 см,их сумма равна 56 см Ответ должен получится 15 и 41 см. Пожалуйста,помогите.Все перепробовала,не получается ответ!

Answer 1

Если две наклонные проведены из одной точки, то меньше та наклонная, у которой меньше проекция.

Пусть МА и МВ - наклонные к плоскости α,
МО⊥α,
тогда ОА и ОВ - проекции наклонных на плоскость α.

Обозначим х - меньшую наклонную, тогда большая 56 - х.

Из прямоугольных треугольников АМО и ВМО выразим МО:
MO² = x² - 144
MO² = (56 - x)² - 1600
 и приравняем:

x² - 144 = 56² - 112x + x² - 1600
112x = 3136 - 1600 + 144
112x = 1680
x = 15 см

МА = 15 см
МВ = 56 - 15 = 41 см

Answer 2

Рисуем схему:

perlCopy code
                 /|    
                / |    
               /  |  h
              /   |  
             /    |  
            /_ _ _|_______  
                 d

Пусть точка, из которой проведены наклонные, находится на расстоянии $d$ от плоскости, а длины наклонных обозначим через $h_1$ и $h_2$ соответственно.

Заметим, что проекции наклонных на плоскость являются катетами прямоугольных треугольников, образованных наклонными и плоскостью. Поэтому, используя теорему Пифагора, можем записать:

$$h_1^2 = d^2 + 12^2 \quad\text{и}\quad h_2^2 = d^2 + 40^2$$

Также из условия известна сумма длин наклонных:

$$h_1 + h_2 = 56$$

Решим систему уравнений, составленную из этих трех уравнений:

$$\begin{cases} h_1^2 = d^2 + 12^2 \\ h_2^2 = d^2 + 40^2 \\ h_1 + h_2 = 56 \end{cases}$$

Выразим $d^2$ из первых двух уравнений:

$$d^2 = h_1^2 - 12^2 = h_2^2 - 40^2$$

Подставим это выражение в третье уравнение и решим получившееся квадратное уравнение относительно $h_1$:

$$h_1 + h_2 = 56 \quad \Rightarrow \quad h_1 = 56 - h_2 \\ (h_1^2 - 12^2) + (h_2^2 - 40^2) = 0 \\ (56 - h_2)^2 - 12^2 + h_2^2 - 40^2 = 0 \\ 2h_2^2 - 112h_2 + 528 = 0 \\ h_2^2 - 56h_2 + 264 = 0 \\ (h_2 - 22)(h_2 - 12) = 0$$

Отсюда получаем два возможных значения $h_2$: $h_2 = 12$ или $h_2 = 22$. Но так как $h_1 + h_2 = 56$, то получаем, что $h_1$ равно $44$ или $34$ соответственно. Но только для $h_2 = 22$ будет выполнено условие $h_2 > h_1$, поэтому выбираем $h_2 = 22$ и соответственно $h_1 = 34$.

Таким образом, длины наклонных равны 15 и 41 см.