Question

в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на сторонах АВ и ВС отмеченны соответственно точки М и N, так что угол АСМ = углу САN. Докажите , что треугольник MBN - равнобедренный,

Answer 1

треугольник АМС= треугольнику АNC  по 1признаку

=> АМ=NC и АВ=ВС=>МВ=ВN

доказано

 

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника MBN нам понадобится использовать данные о равнобедренном треугольнике ABC и равенстве углов.

По условию, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Это означает, что сторона AB равна стороне BC: AB = BC.

Также, у нас есть информация о равенстве углов: угол ASM равен углу CAN: ∠ASM = ∠CAN.

Теперь рассмотрим треугольники MBN и NCA.

У нас есть:

1. Угол ASM = угол CAN (по условию).

2. Угол BAS = угол BCS (описанный угол равнобедренного треугольника ABC).

3. Сторона AB = сторона BC (равнобедренность треугольника ABC).

По угловой теореме у треугольников с равными углами и пропорциональными сторонами соответственно равны стороны, противолежащие равным углам.

Таким образом, мы можем заключить, что у треугольников MBN и NCA:

∠MBS = ∠NCB (равенство углов по пункту 2).

BS/NC = AB/AC (определение тангенса угла).

Но AB = BC (пункт 3), поэтому:

BS/NC = BC/AC.

Так как BC/AC = 1 (равнобедренность треугольника ABC), то:

BS/NC = 1.

Отсюда следует, что сторона BS равна стороне NC: BS = NC.

Таким образом, треугольник MBN является равнобедренным, так как сторона MB равна стороне NB: MB = NB.

Таким образом, мы доказали, что треугольник MBN - равнобедренный.