Question

РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА отрезки АВ и СD пересекаются в точке О так что ОС=ОD и<ACD=<BDC докажите что АС=ВD и АО=ВО

Answer 1

Угол АОС = углу ВOD (они вертикальные).
Тогда треугольники AOC и BOD равны по стороне и двум прилегающим к ней углам.
Значит, АО = ВО и АС = BD.

Answer 2

Спиши у первого у меня тоже такойже ответ

Answer 3

Дано: отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $OC=OD$ и $\angle ACD=\angle BDC$.

Чтобы доказать, что $AC=BD$, рассмотрим треугольники $AOC$ и $DOB$. Мы знаем, что $OC=OD$ и $\angle AOC=\angle DOB$ (это следует из того, что $\angle ACD=\angle BDC$ и они дополняются до угла $180^\circ$). Кроме того, угол $ACO$ равен углу $BDO$, так как они являются вертикальными углами. Теперь мы можем применить косинусную теорему к треугольникам $AOC$ и $DOB$:

$$AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 \cdot AO \cdot OC \cdot \cos \angle AOC\\ BD^2 = BO^2 + OD^2 - 2 \cdot BO \cdot OD \cdot \cos \angle DOB$$

Поскольку $\angle AOC = \angle DOB$, а $OC=OD$ и $AO=BO$ (так как они являются радиусами окружности, проходящей через точки $O$, $A$ и $B$), мы можем записать:

$$AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 \cdot AO \cdot OC \cdot \cos \angle DOB\\ BD^2 = BO^2 + OD^2 - 2 \cdot BO \cdot OD \cdot \cos \angle AOC$$

Суммируя эти уравнения, получаем:

$$AC^2 + BD^2 = 2 \cdot (AO^2 + BO^2)$$

Заметим, что правая часть этого уравнения равна $2 \cdot AB^2$, так как $AO=BO=AB$. Следовательно,

$$AC^2 + BD^2 = 2 \cdot AB^2$$

Мы знаем, что $AC \geq 0$ и $BD \geq 0$, поэтому их квадраты также неотрицательны. Следовательно, мы можем сделать вывод, что $AC^2 + BD^2 \geq 2 \cdot 0 = 0$. Если $AC^2 + BD^2 = 0$, то $AC=BD=0$, что означает, что точки $A$ и $B$ совпадают с точками $C$ и $D$, соответственно. Но это противоречит тому, что отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются. Следовательно, $AC^2 + BD^2 > 0$, что означает, что $AC \neq 0$ и $BD \neq 0$. Таким образом, мы можем поделить обе части уравнения на $2$ и в