Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 5√3, диагональ её основания равна 10√2. Найдите боковую поверхность пирамиды, полную поверхность пирамиды, двугранный угол при основании пирамиды.

Answer 1

В основании пирамиды квадрат с диагональю 10√2

По теореме пифагора выражаем сторону а=10*√2/√2=10 По той же самой теореме ищим высоту проведеную в боковой грани(там получается прямоугольный треугольник с гипотенузой=5 √3 и одним из катетов равным1/2а) h= √(5 √3)^2-5^2)=5√2 Площадь боковой поверхности 4* 1/2а*h=200 √2(1/2аh- площадь треугольника) Площадь полной поверхности =200 √2+100(100-это площадь квадрата в основании)=300√2 искомый двуграный угол это угол между высотой боковой стороны и 1/2а соsА=5/(5* √2)=1/ √2 А=45 градусов

Answer 2

Обозначим через $a$ длину ребра основания правильной четырехугольной пирамиды. Так как пирамида правильная, то ее основание - квадрат, и его диагональ равна $10\sqrt{2}$, а значит, сторона квадрата равна $a=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10$. Также обозначим через $h$ высоту боковой грани пирамиды.

Для того, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, нужно найти площадь боковой грани и умножить ее на количество боковых граней, то есть 4.

Так как основание пирамиды - квадрат, а боковая грань - равносторонний треугольник, то высота боковой грани составляет половину длины диагонали квадрата, то есть $h=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$. Так как боковое ребро равно $5\sqrt{3}$, то сторона треугольника, образованного боковым ребром и высотой, равна $5\sqrt{2}$ (так как это прямоугольный треугольник, то мы можем использовать теорему Пифагора: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (5\sqrt{2})^2$). Таким образом, площадь боковой грани равна $\frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}$, а боковая поверхность пирамиды равна $4 \cdot 25\sqrt{2} = 100\sqrt{2}$.

Чтобы найти полную поверхность пирамиды, нужно добавить к боковой поверхности площадь основания. Поскольку основание пирамиды - квадрат со стороной $a=10$, то его площадь равна $a^2=100$. Таким образом, полная поверхность пирамиды равна $100\sqrt{2}+100$.

Чтобы найти двугранный угол при основании пирамиды, мы можем воспользоваться формулой для вычисления угла между двумя гранями правильной $n$-угольной пирамиды: $\theta = \arccos\left(-\frac{1}{n-2}\right)$. Для нашей четырехугольной пирамиды $n=4$, поэтому $\theta = \arcc