Question

В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке М так, что AM в 4 раза больше MD. Найдите длины сторон параллелограмма ,если его периметр 36 см

Answer 1

Вот) надеюсь поймешь)

Answer 2

Пусть $AB=CD=a$ и $BC=AD=b$. Также пусть $\angle ABD = \angle CBD = \alpha$.

Так как биссектриса угла $B$ делит угол $ABD$ пополам, то $\angle ABM = \frac{\alpha}{2}$. А так как $AB \parallel CD$, то $\angle MDC = \angle ABM = \frac{\alpha}{2}$.

Также по условию $AM = 4MD$, или $AM = \frac{4}{5}AD$ и $MD = \frac{1}{5}AD$. Значит, $AD = AM + MD = \frac{9}{5}MD$.

Из треугольника $AMD$ мы можем выразить $MD$ через стороны параллелограмма:

$AM + MD + AD = 36$ $\frac{4}{5}AD + \frac{1}{5}AD + AD = 36$ $AD = \frac{25}{3}$ $MD = \frac{5}{3}$

Из треугольника $BMD$ мы можем выразить $BD$ через $MD$ и $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{BD}{MD} = \frac{a}{2MD}$ $BD = 2MD \tan(\alpha) = \frac{10}{3}\tan(\alpha)$

Теперь мы можем выразить оставшиеся стороны параллелограмма через $a$, $b$, и $\alpha$:

$AD = \frac{25}{3} = a\sec(\alpha)$ $BC = b = a\tan(\alpha)$

Решая эти уравнения относительно $a$ и $b$, мы получаем:

$a = \frac{25}{3\sec(\alpha) + \tan(\alpha)}$ $b = \frac{25\tan(\alpha)}{3\sec(\alpha) + \tan(\alpha)}$

Теперь нам нужно найти $\alpha$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем, что $\angle ABD = \angle CBD = \alpha$. Также мы знаем, что $AD = \frac{25}{3}$ и $AB = CD = a$. Мы можем использовать закон косинусов для нахождения $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \frac{AD^2 + 2AB^2 - CD^2}{2\cdot AD \cdot AB} = \frac{625/9 + 2a^2 - a^2}{2\cdot 625/9} = \frac{5a^2}{375} = \frac{a^2}{75}$

Теперь мы можем найти $\tan(\alpha)$ и $\sec(\alpha)$:

$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{75-\cos^2(\alpha)}}{\cos(\alpha)} = \frac{\sqrt{75-a^2}}{a}$

$$$$