Question

50 б. Плоскость a, параллельная стороне MN треугольника MNK, пересекает его в точках M1 и N1, лежащих на прямых MK и NK соответственно. Найдите MN, если MK = 24 см, M1N1 =3 см , M1K = 9 см.

Answer 1

..........................

Answer 2

Обозначим через $h$ высоту треугольника $MNK$ из вершины $K$, а через $x$ расстояние $KK_1$ между параллельными плоскостями $a$ и $MNK$. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $KM_1K_1$ имеем:

$$KK_1^2 = M_1K^2 - M_1N_1^2 = 9^2 - 3^2 = 72.$$

Заметим также, что треугольники $KK_1N_1$ и $KNH$ подобны с коэффициентом $\frac{KK_1}{KH}=\frac{N_1K}{NH}$, откуда следует:

$$\frac{N_1K}{h}=\frac{KK_1}{h+x} \quad \Rightarrow \quad \frac{N_1K}{h}=\frac{\sqrt{72}}{h+x}.$$

Теперь заметим, что треугольник $MKH$ подобен треугольнику $MNK$ с коэффициентом $\frac{KH}{MK}=\frac{h}{MK-h}$. Отсюда получаем:

$$\frac{h}{MK-h} = \frac{N_1K}{h} \quad \Rightarrow \quad h^2 + N_1K\cdot h - MK \cdot N_1K = 0.$$

Подставляя значения $MK=24$ см и $N_1K=\sqrt{72}$ см, получаем квадратное уравнение относительно $h$:

$$h^2 + 6\sqrt{2}h - 72 = 0.$$

Решая его, находим положительное решение $h=6\sqrt{10}-9$ см. Тогда высота треугольника равна $h+9=6\sqrt{10}$ см, а площадь треугольника равна $\frac{1}{2}\cdot MN\cdot 6\sqrt{10}$, откуда $MN=\frac{12\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\boxed{12}$ см.