Question

Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны

Answer 1

Просто. Так-как с любой точки длина касательных кругу ровны, то считая вершины четырехугольника точками, а стороны касательными, то Ваша задача решена.

Answer 2

мы знаем что по свойству касательной

АР=АQ, DP=DN,CN=CM,BQ=BM, тогда отсюда мы получаем, что

AB+CD=AQ+BQ+CN+DN
и

BC+AD=BM+CM+AP+DP   

СЛЕДОВАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ

AB+CD=BC+AD

доказали

 

рисунок вложен извини не очень ровно пять раз добавлял рисунок не получается

 

 

Answer 3

Для доказательства этого утверждения рассмотрим четырехугольник ABCD, описанный около окружности с центром O. Пусть AB и CD - противоположные стороны четырехугольника, а BC и AD - оставшиеся две стороны.

Так как четырехугольник ABCD описан около окружности, то радиус окружности равен расстоянию от центра окружности O до каждой из вершин A, B, C, D. Обозначим этот радиус как r.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB являются радиусами окружности, то они равны друг другу и равны r. То есть OA = OB = r. Аналогично, в треугольнике COD имеем OD = OC = r.

Теперь обратимся к треугольнику OBC. В этом треугольнике две стороны - OB и OC - равны радиусу окружности r. Так как эти стороны равны и прилегают к одному углу BOC, то по теореме о равенстве боковых сторон треугольник равнобедренный, и угол BOC равен углу BCO.

Аналогично рассмотрим треугольник OAD. В нем стороны OA и OD равны радиусу r и прилегают к одному углу AOD, поэтому треугольник OAD также является равнобедренным, и угол AOD равен углу ADO.

Теперь рассмотрим сумму противолежащих сторон AB и CD. По свойствам окружности, эти стороны равны хордам, соответствующим углам AOD и BOC. Обозначим эти углы как α и β, соответственно.

Так как треугольники OAD и OBC равнобедренные, то углы AOD и ADO равны, а также углы BOC и BCO равны. Пусть они равны γ.

Тогда сумма углов в треугольнике AOD равна γ + α + γ = 2γ + α, а сумма углов в треугольнике BOC равна γ + β + γ = 2γ + β.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то 2γ + α + 2γ + β = 180°.

Упрощая это уравнение, получаем 4γ + α + β = 180°.