Question

1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведены медиана СМ и высота СН. Найдите угол между медианой и высотой, если угол В равен 56°. 2) Стороны треугольника АВС равны 13,14 и 15. Найдите его площадь, высоту, проведенную к средней стороне и радиусы вписанной и описанной окружности.

Answer 1

ЕСЛИ ЭТО НЕ ТО ТО СОРИ
1) Пусть катет AC>BCМедиана в прямоугольном тр-ке является радиусом описанной окружности⇒CM=AM=BM⇒Тр-ник CMB - равнобедренный⇒угол MBC равен углу MCB=α - введем такое обозначение.СH перпенд AB⇒угол CHB равен 90 грCL - биссектриса⇒угол ACL равен углу BCL=45 грНайдем углы MCL и LCH и покажем, что они равныУгол LCH =угол BCL - угол BCHИз прямоуг тр-ка CHB угол BCH=90-α⇒Угол LCH =45-(90-α)=α-45Угол MCL =угол MCB - угол BCL=α-45⇒Угол LCH=Угол MCL⇒CL - биссектриса угла МСН2) Биссектриса делит сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам⇒CM/CH=ML/LH=5/3Пусть ML=5x; LH=3x⇒MH=8x⇒Из прямоуг тр-ка MHC имеем:CM^2=CH^2+MH^2⇒9+64x^2=25⇒64x^2=16⇒x^2=1/4⇒x=1/2⇒LH=3/2CL^2=CH^2+LH^2⇒CL^2=9+9/4=45/4⇒CL=√45/4=3√5/2Ответ: 3√5/2

Answer 2

1. Обозначим за P точку пересечения медианы и высоты, а за Q - середину стороны АВ. Тогда, по свойству медианы, СП = 1/2 СМ, а также АС = 2AQ. По свойству высоты, АС × СН = СВ × СМ. Заметим, что треугольники СВQ и САН подобны по двум углам, значит, соответствующие стороны пропорциональны: СВ/СН = СА/СQ. Из свойства медианы следует, что СМ = 2SQ, откуда СА = 4SQ. Теперь можно записать пропорцию: СВ/СН = 4SQ/SQ, откуда СВ = 4СН. Из условия задачи известно, что угол В равен 56°, значит, угол САВ равен 34°. Рассмотрим треугольник СВН. В нем углы при В и Н равны соответственно 56° и 90°, значит, угол СВН равен 34°. Таким образом, угол между медианой и высотой равен 34°.

2. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 S = sqrt(p(p-13)(p-14)(p-15)) = sqrt(21876) = 84. Теперь найдем высоту, опущенную на среднюю сторону. Заметим, что треугольник АВС является прямоугольным, так как 15² = 13² + 14². Значит, высота, опущенная на гипотенузу, совпадает с гипотенузой. Тогда высота, опущенная на среднюю сторону, равна половине гипотенузы: h = 15/2 = 7.5. Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей воспользуемся формулами: r = S/p = sqrt(21876)/(13+14+15) = 4 R = abc / 4S = 151413 / (4*84) = 35/2.

Таким образом, площадь треугольника равна 84, высота, опущенная на среднюю сторону, равна 7.5, радиус вписанной окружности равен 4, а ради