Question

Написать уравнение плоскости по 3 точкам (0;0;0) (0;0;1) (1;2;3)

Answer 1

Уравнение плоскости проходящей через начало координат
аx+ by +cz= 0
Подставляем координаты ненулевых точек.
с=0
a+2b+3c=0
Пусть а= -2 тогда b=1

Уравнение плоскости
-2x +y=0

Нормализованное уравнение плоскости - понадобится для нахождения расстояния от точки до прямой )

k=√(1^2+2^2)= √5

-2√5x/5 + √5у/5 =0

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем два вектора, лежащих в плоскости, используя данные точки. Возьмем векторы от первой точки до второй и от первой точки до третьей: $\vec{v_1} = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1)$ $\vec{v_2} = (1, 2, 3) - (0, 0, 0) = (1, 2, 3)$

2. Найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости. Выполним векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix}i & j & k \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{vmatrix} = (-2, -3, 0)$

3. Используя найденный нормальный вектор и одну из трех точек, мы можем записать уравнение плоскости в виде $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим значения нормального вектора и точку в уравнение: $-2x - 3y + 0z + D = 0$ Подставим координаты первой точки (0, 0, 0): $-2(0) - 3(0) + 0(0) + D = 0$ $D = 0$

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки (0, 0, 0), (0, 0, 1) и (1, 2, 3), будет иметь вид: $-2x - 3y = 0$