Question

Четырёхугольник abcd параллелограмм. На прямой ac отметили точки m и n,а на прямой bd точки k и p так; что am=cn и bp=bk.Докажите ,что четырёхугольник kmpn параллелограмм

Answer 1

Если диагонали и точка пересечения делят стороны пополам, то это параллельном

Answer 2

Для доказательства, что четырёхугольник KMPN является параллелограммом, нам необходимо показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

Из условия задачи известно, что AM = CN и BP = BK.

Рассмотрим треугольники AMK и CNP:

1. AM = CN (по условию)
2. BP = BK (по условию)
3. AK = CP (так как AM = CN и BP = BK, следовательно, AK + CP = AM + BP = CN + BK = CP + AK)
4. Угол MKA = угол NPC (вертикальные углы)
5. Треугольники AMK и CNP равны по стороне-стороне-стороне (SAS), так как у нас равны две стороны (AM = CN, AK = CP) и угол (MKА = NPC).

Из равенства треугольников AMK и CNP следует, что угол MPK = угол NKP (по соответственным углам равных треугольников).

Теперь рассмотрим треугольники MKN и PNK:

1. MP = NK (по условию)
2. NP = MK (по условию)
3. Угол MKN = угол PNK (вертикальные углы)
4. Треугольники MKN и PNK равны по стороне-стороне-стороне (SAS), так как у нас равны две стороны (MP = NK, NP = MK) и угол (MKN = PNK).

Из равенства треугольников MKN и PNK следует, что угол KMP = угол KNP (по соответственным углам равных треугольников).

Таким образом, у нас имеются две пары противоположных углов KMP и KNP, а также MP и NK, которые равны их соответствующим парам углов и сторон. Следовательно, четырёхугольник KMPN является параллелограммом.