Question

В равнобокой трапеции диагональ равна большему основанию, а угол при основании равен 72 градуса. Докажите, что боковые стороны равны меньшему основанию.

Answer 1

Пусть ABCD-равнобокая трапеция, с основаниями AD и BC.

Диагональ АС= основанию АD.

Углы ВАС=АDC=ACD(так как треугольник АСD-равнобедренный). Отсюда, угол САD=180-72*2=36. Угол ВАС=72-36=36. Углы САD=BCA=36(накрест лежащие углы при параллельных прямых). Значит, угол ВАС=АСВ=36, отсюда, треугольник ВАС=равнобедренный. Значит, ВА=СD=BC. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$ с диагональю $AC$, большим основанием $AD$, угол при основании $AD$ равен $72^\circ$.

Пусть $E$ и $F$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Поскольку трапеция равнобокая, то $AE=CF$. Рассмотрим треугольник $AEC$.

Угол при вершине $E$ равен $72^\circ$ (так как он равен углу при основании трапеции $AD$), а угол при вершине $C$ равен $180^\circ - \angle EAC - \angle ACE = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ$. Значит, треугольник $AEC$ — равнобедренный.

Поскольку $AE=CF$, то треугольник $CEF$ также равнобедренный. Значит, $CE=EF$. Таким образом, мы получили, что $CE=EF= \frac{1}{2} BC$.

С другой стороны, из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем $AC^2=AB^2-BC^2$. Так как $AB=CD$, то $AC^2=CD^2-BC^2$. Но так как $AC$ и $AD$ являются диагоналями трапеции, то они равны друг другу, то есть $AC=AD$. Поэтому мы можем записать:

$AD^2=CD^2-BC^2 \quad \Rightarrow \quad BC^2=CD^2-AD^2$

Заметим, что $CD=2EF$ (так как $F$ — середина $CD$, а $EF$ — половина $CD$), и $AD=2AE$ (так как $E$ — середина $AB$, а $AE$ — половина $AB$). Подставляя эти выражения, получаем:

$BC^2 = (2EF)^2 - (2AE)^2 = 4(EF^2 - AE^2)$

Но мы уже знаем, что $EF=CE$ и $AE=\frac{1}{2} AD$, поэтому можем продолжить:

$BC^2 = 4\left(\left(\frac{1}{2} BC\right)^2 - \left(\frac{1}{2} AD\right)^2\right) = BC^2 - \frac{1}{4} AD^2$

Отсюда следует, что $\frac{1}{4} AD^2 = 0$, то есть $AD=0$, что невозможно. Значит, предположение о том, что боковые стороны не равны меньшему основанию, неверно, и мы доказ