Question

В прямоугольном треугольнике ABC высота СН делит гипотенузу АВ на отрезки АН=8 и ВН=18. Окружность, построенная на отрезке СН, как на диаметре, пересекает стороны АС и ВС в точках Р и К. Найдите длину отрезка РК.

Answer 1

Угол PCK - прямой и вписанный в окружность, значит PK - диаметр окружности, а он равен CH=√(AH*BH)=√(8*18)=12.

Answer 2

Чтобы найти длину отрезка РК, нужно определить длину высоты СН и радиус окружности, построенной на отрезке СН как на диаметре.

По условию, высота СН делит гипотенузу АВ на отрезки АН = 8 и ВН = 18. Поскольку треугольник прямоугольный, можно использовать подобие треугольников для нахождения длины СН.

Обозначим длину гипотенузы АВ как с и длину высоты СН как h.

Используя подобие треугольников АНС и ВНС, получаем следующее соотношение:

(AN / VN) = (CH / NH)

Подставляем известные значения:

(8 / 18) = (CH / h)

Решаем отношение:

8h = 18CH

h = (18/8) * CH

Теперь рассмотрим окружность, построенную на отрезке СН как на диаметре. Радиус окружности равен половине длины СН, то есть R = h/2.

Таким образом, R = (1/2) * (18/8) * CH = (9/8) * CH.

Теперь находим длину отрезка РК. Радиус окружности R является высотой треугольника РКС, так как окружность, построенная на СН как на диаметре, проходит через точки Р и К.

Длина отрезка РК равна двойному радиусу окружности:

РК = 2R = 2 * (9/8) * CH

Таким образом, длина отрезка РК равна (18/8) * CH или 9/4 * CH.

Чтобы вычислить конечное значение, нужно знать длину отрезка СН (CH). Если дано значение CH, вы можете подставить его в последнее выражение, чтобы найти длину отрезка РК.