Question

диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 градусов к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

Answer 1

Известно, что при пересечении плоскостью шара в сечении всегда оказывается круг. Поэтому линией пересечения данной плоскости с шаром диаметра 2m будет окружность радиуса r. Как легко показать, проекцией радиуса R шара на сечение (круг) будет радиус r. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом R как его гипотенузой и радиусом r как одним из его катетов, выразим радиус r через радиус R  и угол A между радиусом R и радиусом r:

                r=R*cos(A)-----(1)

Где R=d/2 =m, d - диаметр шара; угол A=45 градусов

    Тогда из (1) имеем:   r=m*cos(45)=(m*корень(2))/2

 Найдем искомую длину окружности радиуса r:

       L=2*Pi*r=2*Pi*(m*корень(2))/2 = Pi*m*корень(2)

   где Pi - число Пи; корень - квадратный корень. 

                  

   

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами сферы и плоскости.

Для начала определим, какая часть сферы будет пересекаться с плоскостью. Поскольку плоскость проходит через конец диаметра, она разделит сферу на две половины. Нас интересует только та половина, которая находится с той стороны плоскости, где находится конец диаметра.

Теперь рассмотрим сечение этой половины сферы плоскостью. Поскольку плоскость проходит под углом 45 градусов к диаметру, она будет образовывать сечение в форме эллипса.

Для определения длины линии пересечения найдём большую полуось и малую полуось эллипса.

Большая полуось будет равна радиусу сферы, то есть r = 2 м.

Малая полуось будет равна расстоянию от центра сферы до плоскости. Расстояние от центра сферы до плоскости, проходящей через конец диаметра, можно вычислить с использованием тригонометрии. Поскольку угол между плоскостью и диаметром составляет 45 градусов, получаем прямоугольный треугольник.

Полуось эллипса будет равна r * sin(45 градусов) = 2 м * √2 / 2 = √2 м.

Теперь, чтобы найти длину линии пересечения, можно воспользоваться формулой для длины окружности эллипса: L = π * (3 * (a + b) - √((3 * a + b) * (a + 3 * b))),

где a и b - большая и малая полуоси соответственно.

Подставим значения a = 2 м и b = √2 м в формулу: L = π * (3 * (2 + √2) - √((3 * 2 + √2) * (2 + 3 * √2))).

После вычислений получим: L ≈ 7.157 м.

Таким образом, длина линии пересечения сферы с плоскостью, проходящей через конец диаметра под углом 45 градусов, составляет примерно 7.157 м.