Question

В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Отрезок MK параллелен стороне AC и пересекает AB в точке K, MP параллельна AB и пересекает AC в точке P. Докажите, что прямые AM и KP перпендикулярны.

Answer 1

Рассмотрим четырехугольник АКМР. Это параллелограмм, т.к. его противоположные стороны попарно параллельны по условию (KM II AP, AK II PM).
<KMA=<PAM как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых АР и КМ секущей АМ. Но 
<PAM=<KAM по условию (АМ - биссектриса), значит
<KMA=<KAM, и треугольник АКМ - равнобедренный (углы при его основании АМ равны между собой). Значит
АК=КМ, а поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то
АК=КМ=РМ=АР, и АКМР - ромб. 
Зная свойство диагоналей ромба (диагонали ромба взаимно перпендикулярны), делаем вывод, что КР перпендикулярна АМ. 

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности прямых AM и KP воспользуемся свойствами биссектрисы и параллельных прямых.

Известно, что биссектриса AM делит угол BAC на два равных угла. Обозначим их через α. Таким образом, угол BAM = угол CAM = α.

Также по условию отрезок MK параллелен стороне AC и пересекает AB в точке K, а отрезок MP параллелен стороне AB и пересекает AC в точке P. Тогда по свойству параллельных прямых имеем:

угол AMP = угол C = β (1) угол MAK = угол KAC = α (2) угол MKP = угол K (3) угол KPM = угол P = β (4)

Нам нужно доказать, что прямые AM и KP перпендикулярны, то есть углы AMP и KPM должны быть смежными и их сумма должна быть равна 90 градусам.

Из (1) и (4) у нас есть AMP = β и KPM = β.

Из (2) и (3) имеем MAK + MKP = α + K = 180 градусов.

Теперь найдем сумму углов AMP и KPM:

AMP + KPM = β + β = 2β.

Таким образом, для того чтобы AM и KP были перпендикулярными, должно выполняться условие 2β = 90 градусов.

Для этого нужно, чтобы β = 45 градусов.

Мы знаем, что угол K = α, и поскольку биссектриса AM делит угол BAC на два равных угла, то α = β = 45 градусов.

Таким образом, если углы α и β равны 45 градусам, то прямые AM и KP будут перпендикулярными.