Question

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD=10, BC=6 из середины M стороны AB опущен перпендикуляр MN на сторону CD. Известно, что CN:ND=3:5. Найти площадь трапеции ABCD.

Answer 1

Подробно.

Проведем отрезок МК║АD. Так как М - середина АВ, МК- средняя линия трапеции. МК=(6+10):2=8

Примем коэффициент отношения СN:ND равным а. 

Тогда СD=3a+5a=8a, 

CK=KD=8a:2=4a, из чего следует NK=a.

Опустим  высоту СН на АD. 

Высота, проведенная из тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, другой – их полусумме. => 

DH=(10-6):2=2,  AH=MN=(10+6):2=8

МК║AD, СD – секущая =>  ∠CKM=∠CDA. 

Прямоугольные ∆ СDH~∆ MKN по острому углу.

Из подобия следует: Отношение катетов к гипотенузе подобных прямоугольных треугольников равно. 

NK:MK=HD:СD

a:8=2:8a 

8a²=16  =>

a=√2 и СD=8√2

По т.Пифагора 

CH=√(CD²-HD²)=√(128-4)=2√31

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:

S=(2√31)•8=16√31 (ед. площади)

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства подобных треугольников и пропорции.

Пусть точка P - середина стороны CD, а точка N - точка пересечения MP и CD. Так как треугольник AMP - подобен треугольнику CND, то мы можем записать пропорцию:

CN/ND = AM/MP

Из условия задачи, известно, что CN:ND = 3:5, поэтому мы можем заменить это значение в пропорции:

3/5 = AM/MP

Теперь, найдем значение AM. Так как треугольник ABC - равнобедренный, мы можем использовать свойство медианы равнобедренного треугольника, которое гласит, что медиана делит основание пополам. То есть AM = 1/2 * AB.

Из условия задачи, известно, что AD = 10 и BC = 6, поэтому AB = AD + BC = 10 + 6 = 16. Подставим это значение в формулу для AM:

AM = 1/2 * AB = 1/2 * 16 = 8

Теперь, зная значение AM = 8 и пропорцию 3/5 = AM/MP, мы можем найти значение MP:

3/5 = 8/MP

Умножим обе части на MP, чтобы избавиться от знаменателя:

3 * MP = 5 * 8 3 * MP = 40

Разделим обе части на 3, чтобы выразить MP:

MP = 40/3

Теперь, чтобы найти площадь трапеции ABCD, мы можем использовать формулу:

Площадь = (сумма оснований) * (высота) / 2

Подставим известные значения:

Площадь = (AD + BC) * MP / 2 = (10 + 6) * (40/3) / 2 = 16 * (40/3) / 2 = 320/3

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 320/3.