Question

Периметр треугольника равен 30 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону, если две другие стороны треугольника равны 6см и 8 см.

Answer 1

Пусть ABC - треугольник и AD - биссектриса.

BD = 6, CD = 9.

Используем свойство биссектрисы:

AB/AC = BD/DC => AB/AC = 6/9 = 2/3 =>

AB = 2/3 * AC

P ABC = 45 = AB + BC + AC = AB + BD + DC + AC

45 = 2/3 * AC + 6 + 9 + AC

30 = 5/3 * AC => AC = 18 => AB = 12

Ответ: 18, 12, 15

Answer 2

Давайте обозначим биссектрису треугольника, исходящую из вершины с противоположной стороной длиной 6 см, как BC. Обозначим точку пересечения биссектрисы с противоположной стороной как D.

Поскольку биссектриса делит противоположную сторону на два отрезка, AD и DC, мы должны найти длины этих отрезков.

Для начала, давайте найдем площадь треугольника. Мы можем использовать формулу площади треугольника через его стороны:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где S - площадь треугольника, a, b, c - стороны треугольника, а p - полупериметр треугольника, определяемый как p = (a + b + c) / 2.

В нашем случае, a = 6 см, b = 8 см и p = 30 / 2 = 15 см.

S = √(15 * (15 - 6) * (15 - 8) * (15 - c))

Теперь мы знаем, что площадь треугольника также может быть выражена через биссектрису BC и длину противоположной стороны c:

S = (c/2) * BD,

где BD - отрезок, на который биссектриса делит противоположную сторону.

Сравнивая два выражения для площади треугольника, мы получаем:

(c/2) * BD = √(15 * (15 - 6) * (15 - 8) * (15 - c))

Упрощая это уравнение, мы получаем:

BD = 2 * √(15 * (15 - 6) * (15 - 8) * (15 - c)) / c

Теперь мы можем решить это уравнение для нахождения значения c и, следовательно, BD.

Заметим, что 2 * √(15 * (15 - 6) * (15 - 8) * (15 - c)) / c будет равно √((15 - 6) * (15 - 8) / c) для упрощения.

Учитывая, что a = 6 см, b = 8 см и p = 15 см, мы можем подставить значения в уравнение:

BD = √((15 - 6) * (15 - 8) / c)

Теперь давайте найдем c:

c = ((15 - 6) * (15 - 8)) / (BD/2)^2

Таким образом, мы можем вычислить значения c и BD, используя указанные формулы.