Question

Почему данное утверждение верно? Нужно объяснение Для вписанных в окружность треугольников максимальная площадь соответствует равностороннему треугольнику

Answer 1

Проведём в окружности хорду. На этой хорде построим треугольник максимальной площади. Это будет равносторонний треугольник. Очевидно, что вписанный треугольник максимальной площади должен быть для каждой стороны быть равнобедренным. Этому условию удовлетворяет вписанный равносторонний треугольник.

Answer 2

Данное утверждение верно и может быть объяснено следующим образом:

Рассмотрим треугольник, вписанный в окружность. Вписанный треугольник имеет три стороны, которые касаются окружности в трех точках. Поскольку каждая сторона треугольника является хордой окружности, то из свойства хорд, проходящих через одну и ту же точку окружности, следует, что эти три отрезка являются равными.

Таким образом, вписанный треугольник является равнобедренным, поскольку две его стороны (хорды) равны. Более того, углы, образованные этими сторонами, также равны, так как они соответствуют одному и тому же дуговому отрезку окружности.

Чтобы максимизировать площадь треугольника при заданном периметре (в данном случае периметр равен окружности), необходимо, чтобы треугольник был равносторонним. Это свойство равностороннего треугольника следует из неравенства о треугольнике, которое утверждает, что для заданного периметра треугольник с максимальной площадью должен быть равносторонним.

Таким образом, максимальная площадь для треугольника, вписанного в окружность, соответствует равностороннему треугольнику.