Question

Решите пожалуйста 15 баллов к двум, касающимся внешним образом, окружностям с радиусами 2 см и 3 см, проведены две прямые, касающиеся каждой из окружностей. Найдите расстояние от точки пересечения этих касательных до центра большей окружности. Нарисуйте рисунок.

Answer 1

Соединим центры окружности с касательной. Получим треугольники ABO и ACO₁.
Т.к. касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то угол B=C=90°.
Треугольники ABO подобен ACO₁ по двум углам угол A общий B=C=90°.
Значит
OB/O₁C=AO/AO₁
Т.к. OB и O₁C радиусы, то
2/3=AO/AO₁
OO₁=2+3=5
2AO=3AO₁
3AO₁=2(AO₁+OO₁)
3AO₁=2AO₁+2OO₁
AO₁=2*5
AO₁=10
AO=AO₁+AO=10+5=15 см

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать свойство касательных окружностей. Когда прямая касается окружности в точке касания, образуемый угол между радиусом, проведенным в точку касания, и касательной, равен 90 градусам.

Давайте рассмотрим рисунок для более наглядного объяснения:

cssCopy code
                C
                |\
                | \
                |  \
             r2 |   \ r1
                |    \
                |     \
                |      \
                |_______\
                A       B

На рисунке выше, окружность с радиусом r1 (3 см) обозначена центром C, а окружность с радиусом r2 (2 см) - центром A. Пусть точка пересечения касательных обозначена как B.

Мы знаем, что отрезок AB - это касательная к окружности с радиусом r2, и отрезок CB - касательная к окружности с радиусом r1.

Так как угол между радиусом и касательной равен 90 градусам, то треугольник ABC будет прямоугольным треугольником в точке B.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения расстояния от точки B до центра окружности с радиусом r1 (CB):

CB^2 = CA^2 + AB^2

Расстояние от точки B до центра большей окружности равно CB.

Давайте вычислим это расстояние:

CB^2 = (r1 - r2)^2 + r2^2

CB^2 = (3 - 2)^2 + 2^2 CB^2 = 1 + 4 CB^2 = 5

CB = sqrt(5)

Таким образом, расстояние от точки пересечения касательных до центра большей окружности равно sqrt(5) см.

При желании, вы можете нарисовать рисунок, чтобы лучше понять геометрию задачи.