Question

В равнобедреном треугольнике с основанием ac проведены биссектрисы ak и cm пересекаются в точке E докажите что треугольники eam и cek равны

Answer 1

1. В треугольниках аем и сек равны углы моа и сок так как они вертикальные.

2. В этих же треугольниках равны углы мао и ксо как половины равных углов при основпнии равнобедренного абс.

3. Проведем ен препендикулярно ас. В треугольниках ена и енс катет ен общий и острые углы еан и есн равны. Поэтому треугольники ена и енс равны по катету и острому углк. Поэтому ае равна се.

4. Треугольники еам и сек равны по сторонам ае и се и примыкающим к ним углам.

Answer 2

Для доказательства равенства треугольников EAM и CEK воспользуемся методом подобия треугольников.

Из условия задачи мы знаем, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Поэтому у нас есть следующие равенства длин сторон:

AB = BC

Далее, по определению биссектрисы, точка E является точкой пересечения биссектрис AK и CM. Это означает, что AE и CE являются биссектрисами углов A и C соответственно.

Рассмотрим треугольники EAM и CEK.

У нас есть следующие равенства:

AE = CE (оба равны биссектрисе угла C)

AM = CK (оба равны биссектрисе угла A)

Также, по определению равнобедренного треугольника, мы знаем, что углы A и C равны. Следовательно, у нас также есть равенство:

∠AEM = ∠CEK (углы смежные с равными углами равны)

Теперь мы можем применить критерий подобия треугольников SSA (сторона, сторона, угол) для треугольников EAM и CEK.

У нас есть следующие равенства сторон и угла:

AE = CE

AM = CK

∠AEM = ∠CEK

Таким образом, треугольники EAM и CEK подобны по критерию SSA.

Так как они подобны, то мы можем заключить, что соответствующие углы и стороны этих треугольников пропорциональны.

Так как у нас есть равные стороны AE = CE и AM = CK, а также равные углы ∠AEM = ∠CEK, то мы можем заключить, что треугольники EAM и CEK равны.

Таким образом, треугольники EAM и CEK равны.