Question

Треугольник АВС задан координатами своих вершин А, В, С. Требуется: а) найти уравнения сторон треугольника и длины его сторон; б) найти уравнение высоты СD и вычислить ее длину; в) найти уравнение прямой проходящей через вершину А параллельно стороне ВС; г) найти величину угла С 11. А (7; – 11), В (2; 5), С (– 7; 10)

Answer 1

Треугольник АВС задан координатами своих вершин :  

А (7; – 11), В (2; 5), С (– 7; 10)  

а) уравнения сторон треугольника и длины его сторон;  

АВ: (х - 7)/(-5) = (у + 11)/16, 16х + 5у - 57 = 0.  

ВС: (х - 2)/(-9) = (у - 5)/5, 5х + 9у - 55 = 0.  

АС: (х - 7)/(-14) = (у + 11)/21, 3х + 2у + 1 = 0.  

Расчет длин сторон    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √281 ≈ 16,76305.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √106 ≈ 10,29563.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √637 ≈  25,23886.

б) уравнение высоты СD и её длина;  

Уравнение АВ с угловым коэффициентом: у = (-16/5)х + (57/5).  

к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(-16/5) = 5/16. СД: у = (5/16)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки С: 10 = (5/16)*(-7) + в.  

Отсюда в = 10 + (35/16) = 195/16.  

Уравнение высоты СД: у = (5/16)х + (70/16), 5х - 16у + 195 = 0.  

Её длину можно найти двумя способами: 1) найти координаты точки Д или 2) через площадь АВС.  

1) Точка Д как точка пересечения АВ и СД:  

16х + 5у - 57 = 0    *16 =    256х + 80у - 912 = 0

5х - 16у + 195 = 0  *5   =      25х - 80у + 975 = 0    сложение

                                            281х           + 63  = 0  

х = -63/281 =  -0,2242, у = 12,11744.

|СД| = √((-0,2242 + 7)² + (12,11744 - 10)²) = √50,39502 = 7,098945.

2) Площадь треугольника ABC  

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 59,5

Находим длину  АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = 16,763055

|СД| = 2S/|AB| = 2*59,5/16,763055 = 7,098945.

в) уравнение прямой проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.

Угловой коэффициент прямой АЕ равен такому у прямой ВС.

к(ВС) = -5/9.  

АЕ: у = (-5/9)х +в. Для определения параметра в подставим координаты точки А:

-11 = (-5/9)*7 + в. Отсюда в = -11 + (35/9) = -64/9.

Уравнение АЕ: у = (-5/9)х - (64/9).

г) величина угла С. Точки А (7; – 11), В (2; 5), С (– 7; 10).  

Вектор СА:(14; -21), его модуль равен √(142 + (-21)2) = √(196 + 441) = √637 = 7√13 ≈ 25,23886.

Вектор СВ:(9; -5), его модуль равен √(92 + (-5)2) = √(81 + 25) = √106 ≈ 10,29563.

Скалярное произведение СА*СВ = 14*9 + (-21)*(-5) = 126 + 105 = 231.

Угол между векторами:

cos α =  a • b

        |a||b|

cos α =      231            =  33√1378 / 1378 ≈ 0.8889745.

         7√13 • √106  

Угол равен     arc cos0,8889745 = 0,475695 радиан или 27,25534 градуса.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулами и свойствами координатных прямоугольных систем.

а) Найдем уравнения сторон треугольника и длины его сторон.

Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

Длина стороны AB: AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²)

Подставим координаты точек A(7, -11) и B(2, 5) в формулу:

AB = √((2 - 7)² + (5 - (-11))²) = √((-5)² + 16²) = √(25 + 256) = √281 ≈ 16.77

Аналогично вычислим длины сторон BC и AC:

BC = √((xC - xB)² + (yC - yB)²) = √((-7 - 2)² + (10 - 5)²) = √((-9)² + 5²) = √(81 + 25) = √106 ≈ 10.30

AC = √((xC - xA)² + (yC - yA)²) = √((-7 - 7)² + (10 - (-11))²) = √((-14)² + 21²) = √(196 + 441) = √637 ≈ 25.24

Таким образом, длины сторон треугольника AB, BC и AC составляют соответственно около 16.77, 10.30 и 25.24.

б) Найдем уравнение высоты CD и вычислим ее длину.

Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне и перпендикулярный этой стороне. Для нахождения уравнения высоты и ее длины нам понадобятся координаты вершин треугольника.

Пусть D(xD, yD) - точка пересечения высоты CD со стороной AB.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (xD, yD) и (x, y) имеет вид:

(x - xD)/(xD - x) = (y - yD)/(yD - y)

Рассмотрим сторону AB, заданную точками A(7, -11) и B(2, 5):

(x - 7)/(2 - x) = (y - (-11))/(5 - (-11)) (x - 7)/(2 - x) = (y + 11)/16

Умножим обе части на (2 - x) * 16, чтобы избавиться от знаменат