Question

Средняя линия трапеций равна 10, углы при оснований 30° и 60°. Отрезок соединяющий середины оснований равен 3. Найдите длину большего основания.

Answer 1

Проведем РТ║АВ и РЕ║CD. 

ВРТА и СРЕD  - параллелограммы,   АТ=ВР=РС=ЕD 

Очевидно, что сумма острых углов ∆ ТРЕ равна сумме углов при основании AD, т.е. равна 90°. 

∆ ТРЕ- прямоугольный. РQ его медиана и по свойству медианы прямоугольного треугольника равна половине ТЕ. 

По условию PQ=3. 

ТЕ=2 PQ=6. 

NM- средняя линия ∆ ТРЕ и равна 3. 

Тогда КN+MH=КН-MN=10-3=7

 KN и МН равны половине ВС и равны АТ и ЕD

AD=6+7=13 (ед. длины)

Answer 2

Пусть длина меньшего основания трапеции равна "a". Так как угол при меньшем основании равен 30°, то угол при большем основании будет равен 180° - 30° = 150°.

Из треугольника, образованного половиной большего основания, отрезком, соединяющим середины оснований, и средней линией трапеции, получаем следующую систему уравнений:

cos(150°) = (a - 3) / 10, sin(150°) = h / 10,

где "h" - высота трапеции.

cos(150°) = cos(180° - 30°) = -cos(30°) = -√3/2, sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 1/2.

Подставляем значения:

-√3/2 = (a - 3) / 10, 1/2 = h / 10.

Домножаем оба уравнения на 10, чтобы избавиться от знаменателя:

-√3 = a - 3, 1 = h.

Теперь решаем систему уравнений:

a - 3 = -√3, a = -√3 + 3.

Таким образом, длина большего основания равна:

2 * a = 2 * (-√3 + 3) = -2√3 + 6.